参考資料
ChatGPT4の回答は以下でした。
×①853 × 7489 の計算結果は、6390937 です。
×②与えられた数列を加算すると、次の結果が得られます。
1 + 1 + 1 + 6 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 = 24
△③まず、28 × 86 を計算し、その後商と余りを求め、さらに分数にも表します。
28 × 86 = 2408
次に、2408 ÷ 118 を計算します。
商: 20 (20 × 118 = 2360)
余り: 48
したがって、答えは「商：20、余り：48」です。また、分数で表すと「20 48/118」です。ただし、48 と 118 は共通の約数 2 で割り切れるので、最も簡単な形で表すと、「20 24/59」となります。
〇④まず、与えられた数式の加算部分を計算し、次に乗算を行い、最後に減算を行います。
(0.564 + 0.77) × 6.1 – 2.8
加算：
0.564 + 0.77 = 1.334
乗算：
1.334 × 6.1 = 8.1374
減算：
8.1374 – 2.8 = 5.3374
したがって、計算結果は 5.3374 です。
〇⑤与えられた式を解くために、まずは除算部分から計算し、次に乗算を行います。
2 × (44/121 ÷ 11/100)
除算 (分数の除算は、割られる数の分数をひっくり返して掛け算に変換します)：
(44/121) ÷ (11/100) = (44/121) × (100/11)
この分数を簡単にすると、44 と 11 が共通の約数を持っていることに気づきます。これにより、以下のように簡単になります。
(44/121) × (100/11) = (4/121) × (100/1) = (4 × 100)/(121 × 1) = 400/121
次に、乗算を行います：
2 × (400/121) = (2 × 400)/121 = 800/121
したがって、計算結果は 800/121 です。
〇⑥与えられた式は次のようになります。
5(a+8)/2 = 15
まず、両辺に 2 を掛けて式を単純化します。
5(a+8) = 30
次に、両辺を 5 で割ります。
a+8 = 6
最後に、両辺から 8 を引いて a の値を求めます。
a = 6 – 8
a = -2
したがって、a の値は -2 です。
〇⑦与えられた連立方程式は次のようになります。
1) 12x – 27y = 183
2) -5x + 8y = -60
まず、式 2) を 5 倍して、x の係数が 1) と同じになるようにします。
2) × 5 → -25x + 40y = -300
次に、式 1) と 2) を足し合わせて、y に関する式を作ります。
(12x – 27y) + (-25x + 40y) = 183 – 300
-13x + 13y = -117
両辺を 13 で割って、式を単純化します。
-x + y = -9
この式を x について解くと、
x = y + 9
次に、この式を元の式 1) に代入します。
12(y + 9) – 27y = 183
式を展開し、単純化します。
12y + 108 – 27y = 183
-15y = 75
両辺を -15 で割って、y の値を求めます。
y = 75 / -15
y = -5
次に、y の値を x = y + 9 に代入して、x の値を求めます。
x = -5 + 9
x = 4
したがって、x = 4、y = -5 です。
〇⑧与えられた式は次のようになります。
3z^2 – 2z – 4 = z
まず、式の右辺から z を左辺に移動して、二次方程式を構成します。
3z^2 – 2z – 4 – z = 0
3z^2 – 3z – 4 = 0
この二次方程式を解くために、判別式を計算します。
判別式 D = b^2 – 4ac = (-3)^2 – 4(3)(-4) = 9 + 48 = 57
判別式 D が正なので、2つの異なる実数解が存在します。解の公式を使って、z の値を求めます。
z = (-b ± √D) / 2a
解１：
z = (3 + √57) / (2 × 3) = (3 + √57) / 6
解２：
z = (3 – √57) / (2 × 3) = (3 – √57) / 6
したがって、z の値は (3 + √57) / 6 および (3 – √57) / 6 です。
△⑨次のxについての不等式を解きなさい。x^2-(a+2)x+2a<0
まず、二次式を因数分解しましょう。 x^2-(a+2)x+2a = (x – a)(x – 2) この不等式は次のようになります： (x – a)(x – 2) < 0
これは、a < x < 2 または 2 < x < a のいずれかで成立することを示しています。
〇⑩cosθ = 2/3 が与えられた場合、sinθ および tanθ の値を求めます。ここで、θ は第一四半円または第四四半円の角度と仮定します（cosθ が正であるため）。まず、sinθ の値を求めるには、三角比の関係を使用します。
sin²θ + cos²θ = 1
sin²θ = 1 – cos²θ = 1 – (2/3)²
sin²θ = 1 – 4/9 = 5/9
これにより、sinθ の値は、
sinθ = ±√(5/9)
sinθ = ±√5/3
ただし、θ が第一四半円または第四四半円の角度であると仮定したため、sinθ は正の値をとります。そのため、sinθ = √5/3
次に、tanθ の値を求めるには、sinθ と cosθ の比を計算します。
tanθ = sinθ / cosθ
tanθ = (√5/3) / (2/3)
分母の 3 がキャンセルされ、
tanθ = √5 / 2
したがって、sinθ = √5/3 および tanθ = √5/2 です。
△⑪3276 の素因数分解を求めます。素因数とは、ある数を割り切れる素数のことです。
まず、3276 が偶数であることがわかるので、2 で割り続けます。
3276 ÷ 2 = 1638
1638 ÷ 2 = 819
これ以上 2 で割れませんので、次に 3 で割ります。
819 ÷ 3 = 273
273 をさらに 3 で割ります。
273 ÷ 3 = 91
これ以上 3 で割れませんので、次に 5 で割りますが、91 は 5 で割り切れません。続いて 7 で割ります。
91 ÷ 7 = 13
13 は素数であるため、これ以上割りません。
以上より、3276 の素因数分解は
3276 = 2^2 × 3^3 × 7 × 13
となります。
×⑫与えられた二次方程式は次のようになります。
x^2 – 2x + 9 + 2√15 = 0
二次方程式を標準形式に整理します。
x^2 – 2x + (9 + 2√15) = 0
この二次方程式を解くために、解の公式を使います。
x = [ -b ± √(b^2 – 4ac) ] / 2a
ここで、a = 1、b = -2、c = 9 + 2√15 です。
x = { 2 ± √[(-2)^2 – 4(1)(9 + 2√15)] } / 2(1)
x = { 2 ± √(4 – 36 – 8√15) } / 2
この式の中の判別式の部分を詳しく見ると、4 – 36 – 8√15 = -32 – 8√15 です。この値は負であり、二次方程式の解が実数ではないことを示しています。
判別式が負の場合、二次方程式の解は複素数になります。そのため、解を求めるために、複素数の平方根を計算します。
x = { 2 ± √(-32 – 8√15) } / 2
この式では、-1 の平方根は i と表されます。したがって、x = { 2 ± √(32 + 8√15) i } / 2
この形式で解を求めることができます。したがって、与えられた二次方程式の解は次のようになります。
x = 1 ± √(8 + 2√15) i
×⑬与えられた2次式は次のようになります。
2x^2 – 5xy + 2y^2 + x + y – 1
まず、式を整理してグループ分けを試みます。
(2x^2 – 5xy + 2y^2) + (x + y – 1)
次に、それぞれのグループに共通の因数があるかどうかを見て、因数分解を試みます。
最初のグループ (2x^2 – 5xy + 2y^2) は、2次項に対して完全平方の形が存在しないため、そのままの形で残します。
次に、2つ目のグループ (x + y – 1) について考えます。このグループには明らかな共通因数がありませんが、式全体を見ると、これ以上簡単に因数分解することはできません。
したがって、与えられた2次式は以下のように整理できますが、これ以上因数分解することはできません。
2x^2 – 5xy + 2y^2 + x + y – 1
×⑭与えられた連立方程式は次のようになります。
1) x + y = 3
2) x + y + xy = -7
まず、式1)からyについての式を得ます。
y = 3 – x
次に、この式を式2)に代入して、xについての1次方程式を得ます。
x + (3 – x) + x(3 – x) = -7
式を展開して整理しましょう。
x + 3 – x + 3x – x^2 = -7
-x^2 + 3x + 3 = -7
式を2次方程式の標準形に整理します。
x^2 – 3x + 10 = 0
解の公式を用いて、この2次方程式の解を求めます。
x = [ -(-3) ± √((-3)^2 – 4(1)(10)) ] / 2(1)
x = (3 ± √(9 – 40)) / 2
判別式が負であるため、実数解は存在しません。これは、与えられた連立方程式が実数の解を持たないことを意味します。したがって、この連立方程式には解がありません。
×⑮x^9 + 1 を x^2 – 1 で割ることを考えます。x^2 – 1 は差の平方の形で因数分解できます。
x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)
この式で x^9 + 1 を割る前に、x^9 + 1 をうまく変形します。x^9 + 1 を (x^9 – 1) + 2 として表現します。次に、(x^9 – 1) を因数分解します。これは差の九乗の和の形で因数分解できます。
x^9 – 1 = (x^3 – 1)(x^6 + x^3 + 1)
ここで、(x^3 – 1) はさらに差の立方の和の形で因数分解できます。
x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)
以上より、x^9 + 1 = (x^9 – 1) + 2 = [(x – 1)(x^2 + x + 1)][(x^6 + x^3 + 1)] + 2
これで、x^9 + 1 が x – 1 で割り切れることがわかります。同様に、x^9 + 1 が x + 1 で割り切れるかどうかを確認します。x^9 + 1 を x^9 – (-1) として表現し、x^9 – (-1) を因数分解します。しかし、この式は明確な因数分解の方法がなく、x^9 + 1 が x + 1 で割り切れないことが示唆されます。したがって、x^9 + 1 を x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) で割ると、余りは次のようになります。
余り = x^9 + 1 – (x – 1)(x^2 + x + 1)(x^6 + x^3 + 1)
余り = 2
従って、x^9 + 1 を x^2 – 1 で割った余りは 2 です。
×⑯与えられた方程式は以下のような立方方程式です。
4x^3 + 3x – 2 = 0
解析的な方法で解くのは非常に困難であり、実際の数値解を見つけるために数値アルゴリズム（ニュートン・ラフソン法やバイセクション法など）を使用するのが一般的です。しかし、ここでは代数的な解法で解を試みます。
立方方程式を解くための一般的な方法は、代数的解法や因数分解ですが、この立方方程式の場合、解が明確にわかる因数分解の方法はありません。また、代数的解法を使っても解が非常に複雑になります。これらの方法は非現実的であるため、代わりに実数解を近似的に求めることができます。
この問題を解くには、数値アプローチを使用して解を見つけることが適切です。例えば、ニュートン・ラフソン法を使用して解を求めることができます。もしくは、グラフを描いて交点を観察することもできます。しかし、この方法では厳密な解を求めることはできませんが、近似解を見つけることができます。残念ながら、代数的な解法でこの方程式の解を見つけることは困難です。したがって、数値解法やグラフィカル解法を使用して近似解を見つけることをお勧めします。
△⑰与えられた方程式は次のようになります。
cos(2x) = cos(x)
まず、cos(2x) を二重角の公式を使って cos(x) の関数に変換します。
cos(2x) = 2cos^2(x) – 1
これで、次のような方程式が得られます。
2cos^2(x) – 1 = cos(x)
この方程式は2次方程式になっています。cos(x) を y と置くと、次のような2次方程式が得られます。2y^2 – y – 1 = 0
この2次方程式を解くために、解の公式を使います。
y = [ -(-1) ± √((-1)^2 – 4(2)(-1)) ] / 2(2)
y = (1 ± √(1 + 8)) / 4
y = (1 ± √9) / 4
y = (1 ± 3) / 4
これにより、y は次の2つの値を取ります。
y1 = (1 + 3) / 4 = 1
y2 = (1 – 3) / 4 = -1/2
y = cos(x) であるため、cos(x) = 1 と cos(x) = -1/2 の2つの方程式を解く必要があります。
1) cos(x) = 1 のとき、
x = 0, 2π
2) cos(x) = -1/2 のとき、
x = 2π/3, 4π/3
したがって、0 ≦ x ＜ 2π の範囲での解は、x = 0, 2π/3, 4π/3, 2π
×⑱与えられた変数は次のようになります。
a = log₂(3)
b = log₃(5)
log₂₀(80) を a および b で表すことを求めています。
まず、80を素因数分解します。
80 = 2^4 * 5
次に、底を変換する公式を使用して log₂₀(80) を表現します。
log₂₀(80) = log₂₀(2^4 * 5)
= log₂₀(2^4) + log₂₀(5)
次に、底の変換公式を使用して、底2と底3のログに変換します。
log₂₀(2^4) = 4 * log₂₀(2)
= 4 / log₂(20)
log₂₀(5) = 1 / log₂(20)
これで、log₂(20) と log₃(20) の関数で表現された log₂₀(80) が得られます。しかし、与えられた a と b を使用してこの式を表す必要があります。
a = log₂(3) なので、log₂(3) = a から log₂(9) = 2a です。
また、b = log₃(5) なので、log₃(25) = 2b です。
log₂(20) = log₂(2 * 2 * 5) = log₂(4 * 5) = log₂(2^2 * 5)
= log₂(2^2) + log₂(5)
= 2 + log₂(5)
log₃(20) = log₃(4 * 5) = log₃(2^2 * 5)
= log₃(9 * 5)
= log₃(9) + log₃(5)
= 2 + log₃(5)
これで、log₂(20) と log₃(20) を a と b で表すことができます。
log₂(20) = 2 + log₂(5) = 2a
log₃(20) = 2 + log₃(5) = 2b
log₂₀(80) = 4 / log₂(20) + 1 / log₂(20) の式で、log₂(20) を a で置き換えます。
log₂₀(80) = 4 / (2a) + 1 / (2a)
= (4 + 1) / (2a)
= 5 / (2a)
したがって、log₂₀(80) = 5 / (2a) です。
×⑲与えられた式は次のようになります。
Σ（k=1からnまで）(3k – 1)^2
この和を求めるために、二次関数の和の公式を使用します。Σ(k^2) = n(n + 1)(2n + 1) / 6
Σ(k) = n(n + 1) / 2
(3k – 1)^2 を展開して、各部分の和を求めます。
(3k – 1)^2 = 9k^2 – 6k + 1
和の公式を適用して、和を求めます。
Σ（k=1からnまで）(9k^2 – 6k + 1) = 9Σ(k^2) – 6Σ(k) + Σ(1)
Σ(1) は n 個の 1 の和なので、n です。
この式に公式を代入して計算します。
9[n(n + 1)(2n + 1) / 6] – 6[n(n + 1) / 2] + n
= (3n(n + 1)(2n + 1)) – (6n(n + 1)) + n
この式を整理して、次のようになります。
= 3n(n + 1)(2n + 1 – 4) + n
= 3n(n + 1)(2n – 3) + n
従って、求める和は次のようになります。
Σ（k=1からnまで）(3k – 1)^2 = 3n(n + 1)(2n – 3) + n
×⑳与えられた式は次のようになります。
lim(n→∞) [(√(n+5) – √(n+3)) / (√(n+1) – √n)]
このような無限大への極限を計算するために、有理化の手法を使用します。分子と分母それぞれに、その逆の根を加えたものを掛けて有理化します。
lim(n→∞) {[(√(n+5) – √(n+3)) / (√(n+1) – √n)] * [(√(n+5) + √(n+3)) / (√(n+1) + √n)]}
これにより、次の式が得られます。
lim(n→∞) {((n+5) – (n+3)) / ((n+1) – n)}
式を整理して、次のようになります。
lim(n→∞) {(2) / (√(n+1) + √n)}
n が無限大に近づくと、分母の (√(n+1) + √n) は無限大に近づきます。そのため、全体の極限は次のようになります。
lim(n→∞) (2) / (√(n+1) + √n) = 0
したがって、求める極限は 0 です。
〇㉑与えられた関数は次のようになります。
y = x / (x^2 – x + 1)
この関数を微分するために、商の微分法則を使用します。
(dy/dx) = (d/dx)[x / (x^2 – x + 1)]
商の微分法則は次のようになります。
(d/dx)[u(x) / v(x)] = (v(x) * u'(x) – u(x) * v'(x)) / [v(x)]^2
この法則を適用して、微分を求めます。
ここで、u(x) = x および v(x) = x^2 – x + 1 とします。
u'(x) = d/dx(x) = 1
v'(x) = d/dx(x^2 – x + 1) = 2x – 1
これらの導関数を商の微分法則に代入して計算します。
(dy/dx) = [(x^2 – x + 1) * 1 – x * (2x – 1)] / (x^2 – x + 1)^2
= (x^2 – x + 1 – 2x^2 + x) / (x^2 – x + 1)^2
= (-x^2 + 1) / (x^2 – x + 1)^2
したがって、関数 y = x / (x^2 – x + 1) の導関数は次のようになります。
(dy/dx) = (-x^2 + 1) / (x^2 – x + 1)^2
〇㉒与えられた関数は次のようになります。
y = √(1 + (sinx)^2)
この関数を微分するために、合成関数の微分法則（チェインルール）を使用します。
まず、外側の関数と内側の関数を定義します。
外側の関数：g(u) = √u
内側の関数：h(x) = 1 + (sinx)^2
チェインルールにより、合成関数の導関数は次のようになります。
(dy/dx) = g'(h(x)) * h'(x)
g(u) と h(x) の導関数をそれぞれ求めます。
g'(u) = d/du(√u) = 1 / (2√u)
h'(x) = d/dx(1 + (sinx)^2) = 2sinx * cosx (sin の二重角公式を使って)
これらの導関数をチェインルールに代入して計算します。
(dy/dx) = g'(h(x)) * h'(x)
= (1 / (2√(1 + (sinx)^2))) * (2sinx * cosx)
= (sinx * cosx) / √(1 + (sinx)^2)
したがって、関数 y = √(1 + (sinx)^2) の導関数は次のようになります。
(dy/dx) = (sinx * cosx) / √(1 + (sinx)^2)
△㉓関数y = (tan(x))^sin(x) を微分する場合、まず指数法則と合成関数の微分を用いる必要があります。ここで、y = u^v と考え、u = tan(x) と v = sin(x) と置きます。
まず、それぞれの微分を求めます。
du/dx = (tan(x))’ = (sin(x)/cos(x))’ = (cos^2(x) + sin^2(x))/cos^2(x) = 1/cos^2(x)
dv/dx = (sin(x))’ = cos(x)
次に、合成関数の微分の公式を適用します。
(dy/du) = vu^(v-1)
(dy/dv) = u^v * ln(u)
これらを用いて、y’ を求めます。
dy/dx = (dy/du)(du/dx) + (dy/dv)(dv/dx)
= (v * u^(v-1))(1/cos^2(x)) + (u^v * ln(u))(cos(x))
ここで、u = tan(x) と v = sin(x) に戻します。
dy/dx = (sin(x) * (tan(x))^(sin(x)-1))(1/cos^2(x)) + ((tan(x))^sin(x) * ln(tan(x)))(cos(x))
これを整理します。
dy/dx = (sin(x) * (tan(x))^(sin(x)-1))(1/cos^2(x)) + ((tan(x))^sin(x) * ln(tan(x)))(cos(x))
= (sin(x) * (tan(x))^(sin(x)-1))(1/cos^2(x)) + (sin(x))(tan(x))^(sin(x)-1) * ln(tan(x))
共通項をくくります。
dy/dx = (sin(x))(tan(x))^(sin(x)-1)[(1/cos^2(x)) + ln(tan(x))]
したがって、y’ = (sin(x))(tan(x))^(sin(x)-1)[(1/cos^2(x)) + ln(tan(x))] となります。
〇㉔与えられた不定積分は次のようになります。
∫(5^x – e^x) dx
この不定積分は、それぞれの関数の不定積分の差として計算できます。
∫(5^x) dx – ∫(e^x) dx
5^x および e^x のそれぞれの不定積分を求めます。
∫(5^x) dx = (5^x / ln(5)) + C₁
∫(e^x) dx = e^x + C₂
これらの不定積分を差に代入して、最終的な解を得ます。
∫(5^x – e^x) dx = (5^x / ln(5)) + C₁ – (e^x + C₂)
= (5^x / ln(5)) – e^x + (C₁ – C₂)
ここで、C = C₁ – C₂ と置くと、答えは次のようになります。
∫(5^x – e^x) dx = (5^x / ln(5)) – e^x + C
×㉕与えられた不定積分は次のようになります。
∫x*log(x^2 – 2) dx
この積分を計算するために、部分積分法（積分の微分積分公式）を使用します。
部分積分法では、与えられた積分の被積分関数を u(x) と dv(x) の積として分け、次の公式を適用します。
∫u(x) dv(x) = u(x) * v(x) – ∫v(x) du(x)
ここで、u(x) と dv(x) を選びます。
u(x) = log(x^2 – 2)
dv(x) = x dx
それぞれの導関数と積分を求めます。
du(x) = d/dx(log(x^2 – 2)) = (1/(x^2 – 2)) * (2x) dx = (2x/(x^2 – 2)) dx
v(x) = ∫x dx = (1/2)x^2
部分積分法の公式にこれらを代入して計算します。
∫x*log(x^2 – 2) dx = u(x) * v(x) – ∫v(x) du(x)
= (log(x^2 – 2)) * (1/2)x^2 – ∫(1/2)x^2 * (2x/(x^2 – 2)) dx
= (1/2)x^2 * log(x^2 – 2) – ∫x^3 / (x^2 – 2) dx
この積分はさらに部分積分法を使って解くことができますが、ここでは手作業での計算は困難です。したがって、積分は次のように表現できます。
∫x*log(x^2 – 2) dx = (1/2)x^2 * log(x^2 – 2) – ∫x^3 / (x^2 – 2) dx + C
ただし、C は積分定数です。このままの形で答えを提供することができますが、積分は簡単な形に変換されないため、通常は数値積分やシンボリック計算ソフトウェアを使用して具体的な答えを求めます。
〇㉖∫(1 to 2) x^4 * log(x) dx を求めるには、積分部分法を用います。まず、次のように分解します。u = log(x)
dv = x^4 dx
次に、これらの関数を微分および積分します。
du = (1/x) dx
v = ∫ x^4 dx = (1/5) x^5
積分部分法により、次の式が得られます。
∫ u dv = uv – ∫ v du
これに、関数 u, v, du の値を代入します。
∫(1 to 2) x^4 * log(x) dx = [(1/5) x^5 * log(x)] (1 to 2) – ∫(1 to 2) (1/5) x^5 * (1/x) dx
上記の式を整理します。
= [(1/5) x^5 * log(x)] (1 to 2) – (1/5) ∫(1 to 2) x^4 dx
次に、右側の積分を計算します。
= [(1/5) x^5 * log(x)] (1 to 2) – (1/5) [(1/5) x^5] (1 to 2)
値を代入し、答えを求めます。
= ((1/5) * 32 * log(2) – (1/5) * 1 * log(1)) – (1/5) * ( (1/5) * 32 – (1/5) * 1 )
= (32/5 * log(2) – 0) – (1/5) * (31/5)
最終的に、次の値が得られます。
= 32/5 * log(2) – 31/25
×㉗4つの数字 3, 4, 6, 6 を使用して10を作るには、次のような演算を行います。
(6 ÷ (6 ÷ (4 – 3))) × 3
この式の計算は次のようになります。
(6 ÷ (6 ÷ 1)) × 3 = (6 ÷ 6) × 3 = 1 × 3 = 3
しかし、これは10ではなく3になってしまいます。正確に10を作る方法は、4つの数字3, 4, 6, 6を1回ずつ使っても見つかりませんでした。ごめんなさい。
△㉘4つの1を使って24を作るには以下の式を使用します。
(1 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1)
この計算は以下のようになります。
2 × 2 × 2 = 4 × 2 = 8
しかし、これは24ではなく8になってしまいます。実際には、1を4回だけ使って24を正確に作ることはできません。他の操作や関数（例えば階乗や累乗根など）を使用しない限り、1を4回だけ使って24を作成することはできません。
階乗や累乗根を使うことを許容すると、4つの1を使って24を作る方法があります。
1! + 1! + 1! + 1! = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
ここで、4の階乗を取ります。
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
このように、4つの1を使って24を作ることができます。まず、1の階乗を4回加算して4を作り、その後4の階乗を計算して24を得ることができます。
△㉙計算を正しい順序で行いましょう。まず括弧の中を計算し、次に乗除算、最後に加減算を行います。18 ÷ 3(1 + 2)
括弧の中を計算します。
18 ÷ 3(3)
次に、乗除算を行います。
6(3)
最後に、掛け算を行います。
18
この計算の答えは18です。
△㉚与えられた連立方程式は次のようになります。
1) 3x + 4y + z = 10
2) 2x + 4y – z = 16
まず、方程式1)から方程式2)を引くことで、zの項を消去します。
(3x + 4y + z) – (2x + 4y – z) = 10 – 16
x + 2z = -6
これで、xとzに関する新しい方程式が得られました。
3) x + 2z = -6
次に、方程式1)または方程式2)のいずれかからyを消去します。ここでは、方程式1)から3)を3倍してyを消去します。
3(3x + 4y + z) – (10x + 20y + 6z) = 30 – 60
-3x – 4y = -30
これで、xとyに関する新しい方程式が得られました。
4) -3x – 4y = -30
しかし、この問題は2つの未知数（x, y, z）のうち3つしか与えられていません。従って、この問題は解を持たないか、無数の解を持つことになります。
解が存在するかどうかを確認するために、3)と4)の方程式を解くことはできません。これらの方程式からzを消去することはできませんし、xとyに関する2つの方程式が得られません。
従って、この問題は解を持たないか、無数の解を持つことになります。具体的な解を求めるためには、少なくとももう1つの方程式が必要です。
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