参考資料
ChatGPT3.5の回答は以下でした。
×①853 × 7489 = 6,393,317
×②1+1+1+6+1+1+1+1+1+2+1+1+1+1+3+1+1+1 = 24
×③(28 × 86) ÷ 118 = 20 … 8
従って、商は20、余りは8です。分数で表すと、答えは 20 8/118 となります。
×④(0.564 + 0.77) × 6.1 – 2.8 ≈ 8.9683 – 2.8 ≈ 6.1683
従って、答えは約6.1683です。
〇⑤2 × (44/121 ÷ 11/100)
まず、44/121 ÷ 11/100 を計算します。
44/121 ÷ 11/100 = 44/121 × 100/11 = 400/121
よって、元の式は以下のようになります。
2 × (400/121)
これを計算すると、
2 × (400/121) = 800/121
従って、答えは 800/121 です。
〇⑥5(a+8)/2 = 15
まず、左辺の式を展開します。
5(a+8)/2 = (5a + 40) / 2
したがって、元の式は以下のように書き換えられます。
(5a + 40) / 2 = 15
両辺に2を掛けて式を解くと、
5a + 40 = 30
5a = -10
a = -2
従って、元の式が成り立つためには、aは-2である必要があります。
×⑦まず、2つ目の式を3倍して、以下のように書き換えます。
-5x + 8y = -60
→ -15x + 24y = -180
次に、1つ目の式に2を掛けて、以下のように書き換えます。
12x – 27y = 183
→ 24x – 54y = 366
これらの式から、yに関する方程式を求めるために、上の式から下の式を引きます。
24x – 54y = 366
-(-15x + 24y = -180)
39x – 78y = 546
これで、yに関する方程式が得られました。次に、xに関する方程式を求めるために、1つ目の式から4倍した式を引きます。
12x – 27y = 183
-4(24x – 54y = 366)
15y = -669
従って、y = -669/15 = -44.6
これを元の2つ目の式に代入して、xを求めます。
-5x + 8y = -60
-5x + 8(-44.6) = -60
-5x = 326.8
x = -65.36
よって、元の式が成り立つためには、xは約-65.36、yは約-44.6である必要があります。
〇⑧まず、元の式を以下のように移項します。
3z^2 – 3z – 4 = 0
次に、2次方程式の解の公式を用いてzを求めます。
a = 3, b = -3, c = -4として、解の公式より、
z = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a
= (3 ± √(9 + 48)) / 6
= (3 ± √57) / 6
よって、元の式が成り立つためには、zは (3 ± √57) / 6 のいずれかである必要があります。
△⑨まず、xに関する2次方程式 x^2-(a+2)x+2a=0 の解を求めます。
2次方程式の解の公式より、
x = [(a+2) ± √((a+2)^2 – 4(2a))]/2
= [(a+2) ± √(a^2 – 4a + 4)]/2
= [(a+2) ± (a-2)]/2
よって、xに関する2次方程式の解は x = a もしくは x = 2 であり、これらは関数 x^2-(a+2)x+2a の頂点を挟んでいるため、不等式 x^2-(a+2)x+2a < 0 の解は、次のようになります。
当てはめる2つの値の間で不等式が成立するため、解は a < x < 2 となります。
〇⑩cosθ = 2/3 ということは、直角三角形の隣辺が2、斜辺が3であるような三角形が存在することを示しています。このとき、残りの辺の長さをピタゴラスの定理を用いて求めることができます。
sinθ = √(1 – cos^2θ) = √(1 – (2/3)^2) = √(5/9) = (√5)/3
また、tanθ = sinθ / cosθ = ((√5)/3) / (2/3) = √5/2
よって、sinθ = (√5)/3、tanθ = √5/2 となります。
×⑪32,76を素因数分解すると、以下のようになります。
32,76 = 2^2 × 3^2 × 457
従って、32,76は素因数が2と3と457の3つの積で表されます。
×⑫まず、xに関する2次方程式 x^2-2x+9+2√15=0 の解を求めるために、両辺から9を引きます。
x^2 – 2x + 2√15 = -9
次に、左辺の式について完全平方を作るために、2を平方して4を加えて、両辺に同じ値を加えます。x^2 – 2x + 1 + 2√15 + 4 = -9 + 1 + 4
左辺の式は (x – 1)^2 + 2√15 + 4 となります。右辺は -4 となります。
(x – 1)^2 + 2√15 = -4
この式は実数解を持たないため、元の2次方程式 x^2-2x+9+2√15=0 も実数解を持ちません。
×⑬2x^2 – 5xy + 2y^2 + x + y – 1 の因数分解を求めます。
まず、2x^2 – 5xy + 2y^2 の部分は以下のように因数分解できます。
2x^2 – 5xy + 2y^2 = (2x – y)(x – 2y)
次に、x + y – 1 の部分を因数分解します。定数項が-1であるため、以下のように分解できます。
x + y – 1 = (x – 1) + (y – 1)
これらの式をまとめて、元の式を因数分解すると、
2x^2 – 5xy + 2y^2 + x + y – 1 = (2x – y)(x – 2y) + (x – 1) + (y – 1)
となります。
×⑭まず、x + y = 3 から y = 3 – x という式が得られます。これを x + y + xy = -7 の式に代入すると、
x + (3 – x) + x(3 – x) = -7
これを整理すると、
x^2 + 2x – 10 = 0
となります。この2次方程式を解くと、
x = (-2 ± √44) / 2
となります。これをさらに整理すると、
x = -1 ± √11
これらの解を代入して、yを求めます。
x = -1 + √11 のとき、y = 3 – x = 4 – √11
x = -1 – √11 のとき、y = 3 – x = 4 + √11
従って、元の連立方程式の解は、(x, y) = (-1 + √11, 4 – √11) もしくは (x, y) = (-1 – √11, 4 + √11) となります。
×⑮x^9 + 1 を x^2 – 1 で割った余りを求めるために、以下のように x^9 + 1 を因数分解します。
x^9 + 1 = (x^2)^4 × x + 1
この式を x^2 – 1 で割ると、
(x^2 – 1) × (x^4 + x^2 + 1) × x + 2
従って、x^9 + 1 を x^2 – 1 で割った余りは 2 です。
×⑯これは、解の公式を使わなければ解けない代数方程式です。そこで、ニュートン法と呼ばれる反復法を使って、解を求めます。
まず、関数 f(x) = 4x^3 + 3x – 2 の導関数 f'(x) を求めます。
f'(x) = 12x^2 + 3
この導関数を使って、ニュートン法により、x の近似値を求めます。まず、適当な初期値 x0 を決めます。ここでは、x0 = 1 とします。次に、以下の式により、x の近似値 x1 を求めます。
x1 = x0 – f(x0) / f'(x0)
この式に値を代入すると、
x1 = 1 – (4(1)^3 + 3(1) – 2) / (12(1)^2 + 3)
= 1 – (4 + 3 – 2) / 15
= 0.46667
次に、この x1 を x0 に代入して、同様の計算を繰り返します。
x2 = x1 – f(x1) / f'(x1)
= 0.46667 – (4(0.46667)^3 + 3(0.46667) – 2) / (12(0.46667)^2 + 3)
= 0.26009
x3 = x2 – f(x2) / f'(x2)
= 0.26009 – (4(0.26009)^3 + 3(0.26009) – 2) / (12(0.26009)^2 + 3)
= 0.09805
x4 = x3 – f(x3) / f'(x3)
= 0.09805 – (4(0.09805)^3 + 3(0.09805) – 2) / (12(0.09805)^2 + 3)
= 0.01968
x5 = x4 – f(x4) / f'(x4)
= 0.01968 – (4(0.01968)^3 + 3(0.01968) – 2) / (12(0.01968)^2 + 3)
≈ -0.70495
以上のように繰り返し計算を行うことで、解を求めることができます。したがって、方程式 4x^3 + 3x – 2 = 0 の解は、約 -0.70495 です。
×⑰cos2x = cosx となるような x の値を求めます。まず、cos2x の二倍角公式を使って式変形します。cos2x = cos^2 x – sin^2 x
= 2cos^2 x – 1
従って、元の式は以下のようになります。
2cos^2 x – 1 = cosx
この式を cosx の二乗について解きます。
2cos^2 x – cosx – 1 = 0
この2次方程式の解は、解の公式を用いて、
cosx = (1 ± √3) / 4
となります。ただし、この解は 0 ≦ x < 2π の範囲内に収まるものとは限りません。したがって、実際に cosx = (1 ± √3) / 4 を満たす x の範囲を求める必要があります。
まず、cosx = (1 + √3) / 4 のとき、逆余弦関数を用いて、
x = ±arccos((1 + √3) / 4)
この式の解は、0 ≦ x < π または 2π – π/6 < x < 2π の範囲に収まります。ただし、cosx の値が負の範囲にも解が存在するため、この解だけでは不十分です。
次に、cosx = (1 – √3) / 4 のとき、同様に逆余弦関数を用いて、x = ±arccos((1 – √3) / 4)
この式の解は、π/3 < x < π/2 または 3π/2 < x < 5π/3 の範囲に収まります。
以上の解をまとめると、元の方程式の解は、以下の範囲内に存在します。
0 ≦ x < π/3 または 2π – π/6 < x < 2π – π/3 または π/3 < x < π/2 または 3π/2 < x < 5π/3
×⑱log2080 を a,b で表すために、底を変換する公式を使用します。
log2080 = (log280) / (log220)
log23 を a で表すと、a = log23 (底は2) ですから、2^a = 3 となります。また、log35 を b で表すと、b = log35 (底は3) ですから、3^b = 5 となります。
これらを用いて、log2080 を a,b で表すと、
log2080 = (log280) / (log220)
= (4log23) / (2log22)
= (4a) / 1
= 4a
従って、log2080 を a,b で表すと、log2080 = 4a となります。
×⑲Σ（上がn,下がk=1）（3k-1）^2 の値を求めます。
まず、式を展開すると、
Σ（上がn,下がk=1）（3k-1）^2
= (3(1)-1)^2 + (3(2)-1)^2 + (3(3)-1)^2 + … + (3n-1)^2
となります。
次に、(3k-1)^2 を展開して整理すると、(3k-1)^2 = 9k^2 – 6k + 1
この式を元の式に代入すると、
Σ（上がn,下がk=1）（3k-1）^2
= (9(1)^2 – 6(1) + 1) + (9(2)^2 – 6(2) + 1) + (9(3)^2 – 6(3) + 1) + … + (9n^2 – 6n + 1)
これを整理すると、
Σ（上がn,下がk=1）（3k-1）^2
= (9 + 9×4 + 9×9 + … + 9n^2) – 6(1 + 2 + 3 + … + n) + (1 + 1 + 1 + … + 1)
となります。ここで、左辺の式は求める値であり、右辺の式は各項が等差数列である式となっています。従って、各項の和を求める公式を使って、右辺を簡単に計算できます。
まず、等差数列の和の公式を使って、
1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2
次に、9 + 9×4 + 9×9 + … + 9n^2 の和を求めます。これは、9n^3 の3次の等差数列の和から、各項が1小さい3次の等差数列の和を引いたものです。
9n^3 + 9(n-1)^3 + … + 9×1^3
= 9(1^3 + 2^3 + … + n^3)
= 9(n(n+1)/2)^2
n(n+1)/2 の2乗は (n^2 + n)^2 / 4 なので、
9(n(n+1)/2)^2 = 9(n^2 + n)^2 / 4
= 81n^4 / 4 + 81n^3 / 2 + 81n^2 / 4
これらをまとめると、
Σ（上がn,下がk=1）（3k-1）^2
= 81n^4 / 4 + 81n^3 / 2 + 81n^2 / 4 – 3n(n+1) + n
従って、Σ（上がn,下がk=1）（3k-1）^2 の値は、81n^4 / 4 +81n^4 / 4 + 81n^3 / 2 + 81n^2 / 4 – 3n(n+1) + n となります。
×⑳分母・分子に (√(n+5)+√(n+3)) を掛けると、分子分母ともに差の二乗公式を使って、以下のように変形できます。
(√(n+5)-√(n+3))/(√(n+1)-√n)
= ((√(n+5)-√(n+3))×(√(n+5)+√(n+3))) / ((√(n+1)-√n)×(√(n+5)+√(n+3)))
= (n+5 – (n+3)) / ((√(n+1))^2 – (√n)^2)
= 2 / (2√n+1)
従って、極限は
lim(n→∞)(√(n+5)-√(n+3))/(√(n+1)-√n) = lim(n→∞)2 / (2√n+1) = 0
となります。
〇㉑y = x / (x^2 – x + 1) という関数を微分するために、商の微分法を使います。すなわち、y = u / v とすると、
dy/dx = (v du/dx – u dv/dx) / v^2
という公式が成り立ちます。ここで、u = x, v = x^2 – x + 1 とおきます。
まず、du/dx = 1 です。次に、dv/dx について考えます。v = x^2 – x + 1 なので、両辺を x で微分すると、dv/dx = 2x – 1となります。
これらを公式に代入すると、
dy/dx = [(x^2 – x + 1)×1 – x×(2x – 1)] / (x^2 – x + 1)^2
= (x^2 – x + 1 – 2x^2 + x) / (x^2 – x + 1)^2
= (-x^2 + 1) / (x^2 – x + 1)^2
従って、y = x / (x^2 – x + 1) の微分は、dy/dx = (-x^2 + 1) / (x^2 – x + 1)^2 となります。
×㉒y = √(1 + (sinx)^2) という関数を微分するために、合成関数の微分法を使います。すなわち、y = f(g(x)) とすると、dy/dx = df/dg × dg/dxという公式が成り立ちます。
ここで、f(u) = √(1 + u^2) という関数を考え、g(x) = sinx とおきます。すなわち、f(g(x)) = √(1 + (sinx)^2) = y とします。
まず、df/du を求めます。
f(u) = √(1 + u^2) なので、
df/du = 1 / (2√(1 + u^2)) × 2u
= u / √(1 + u^2)
次に、dg/dx を求めます。g(x) = sinx なので、dg/dx = cosx
これらを公式に代入すると、
dy/dx = df/dg × dg/dx
= (sinx) / √(1 + (sinx)^2) × cosx
= sinx cosx / √(1 + (sinx)^2)
従って、y = √(1 + (sinx)^2) の微分は、dy/dx = sinx cosx / √(1 + (sinx)^2) となります。
×㉓y = (tanx)^sinx という関数を微分するために、指数関数の微分法を使います。すなわち、y = u^v とすると、dy/dx = (ln u) du/dx × v u^(v-1)という公式が成り立ちます。
ここで、u = tanx, v = sinx とおきます。
まず、du/dx を求めます。u = tanx なので、両辺を x で微分すると、du/dx = sec^2 x
次に、ln u を求めます。ln u = ln(tanx) なので、両辺を x で微分すると、
d/dx ln(tanx) = d/dx (ln(sin x) – ln(cos x))
= 1/sin x – (-1/cos x)
= (cos x + sin x) / (sin x cos x)
これらを公式に代入すると、
dy/dx = (ln u) du/dx × v u^(v-1)
= ln(tanx) × sec^2 x × sinx (tanx)^(sinx-1)
= sinx × (cosx+sinx) / (sinx cosx) × sec^2 x × (tanx)^(sinx-1)
= (cosx+sinx) / (cosx^(2-sinx) sinx^(1+sinx))
従って、y = (tanx)^sinx の微分は、dy/dx = (cosx+sinx) / (cosx^(2-sinx) sinx^(1+sinx)) となります。
△㉔∫(5^x – e^x) dx の不定積分を求めます。
まず、5^x の不定積分を求めると、∫5^x dx = 1/ln5 × 5^x + C1
ここで、C1 は積分定数です。次に、e^x の不定積分を求めると、∫e^x dx = e^x + C2
ここで、C2 は積分定数です。これらを合わせて、∫(5^x – e^x) dx を求めるために、C1, C2 を含む一般的な形を∫(5^x – e^x) dx = 1/ln5 × 5^x – e^x + Cと仮定します。ここで、C は積分定数です。
この形式で答えが正しいことを確認するために、(5^x – e^x) の微分が (1/ln5 × 5^x – e^x) に等しいかどうかを確認します。
(1/ln5 × 5^x – e^x) の微分は、
d/dx (1/ln5 × 5^x – e^x) = 1/ln5 × 5^x – e^x
(5^x – e^x) の微分も、d/dx (5^x – e^x) = ln5 × 5^x – e^xとなります。
両者は一致するので、仮定した形式が正しいことが確認できます。
従って、∫(5^x – e^x) dx = 1/ln5 × 5^x – e^x + C となります。
×㉕∫xlog(x^2 – 2) dx の不定積分を求めます。
まず、部分積分法を使います。すなわち、u = log(x^2 – 2), dv/dx = x dx とおきます。すると、du/dx と v を求める必要があります。
まず、u = log(x^2 – 2) なので、両辺を x で微分すると、du/dx = 2x / (x^2 – 2)
次に、dv/dx = x dx なので、v = 1/2 x^2 となります。これらを部分積分法の公式に代入すると、∫xlog(x^2 – 2) dx = uv – ∫v du/dx dx
= 1/2 x^2 log(x^2 – 2) – ∫1/2 x^2 × 2x / (x^2 – 2) dx
= 1/2 x^2 log(x^2 – 2) – ∫x^2 / (x^2 – 2) dx
ここで、x^2 / (x^2 – 2) を部分分数分解すると、
x^2 / (x^2 – 2) = 1 + 2 / (x^2 – 2)となります。
従って、∫xlog(x^2 – 2) dx は、
∫xlog(x^2 – 2) dx = 1/2 x^2 log(x^2 – 2) – ∫(1 + 2 / (x^2 – 2)) dx
= 1/2 x^2 log(x^2 – 2) – x – ∫2 / (x^2 – 2) dx
= 1/2 x^2 log(x^2 – 2) – x – √2/2 log(|x – √2|/|x + √2|) + C
となります。ここで、C は積分定数です。
〇㉖与えられた定積分 ∫[1,2] x^4 logx dx を求めます。
まず、部分積分法を使います。すなわち、u = logx, dv/dx = x^4 dx とおきます。すると、du/dx と v を求める必要があります。
まず、u = logx なので、du/dx = 1/x です。次に、dv/dx = x^4 dx なので、v = 1/5 x^5 となります。これらを部分積分法の公式に代入すると、
∫[1,2] x^4 logx dx = uv – ∫v du/dx dx
= (1/5 x^5 logx)|[1,2] – ∫[1,2] 1/5 x^5 / x dx
= (1/5 x^5 logx)|[1,2] – 1/25 x^5 |[1,2]
= (32/5 log2 – 1/5 log1) – (32/25 – 1/25)
= 32/5 log2 – 31/25
従って、与えられた定積分の値は 32/5 log2 – 31/25 となります。
×㉗3 + 4 + 6 – 6 = 7
よって、3, 4, 6, 6を使って10を作る方法として、3 + 4 + 6 – 6 = 7 という答えがあります。
×㉘1, 1, 6, 6 を使って24を作る方法として、(1+1)×(6+6)=24 という答えがあります。
△㉙18 ÷ 3 (1 + 2) を計算します。まず、括弧内の計算を行います。
1 + 2 = 3
従って、式は 18 ÷ 3 × 3 となります。
次に、左から右へ順番に計算します。18 ÷ 3 = 6 なので、
6 × 3 = 18となります。
従って、18 ÷ 3 (1 + 2) = 18 となります。
注意点として、この式は分数線がないため、分母が「3(1+2)」ということではありません。従って、括弧内の計算を優先して、左から順番に計算する必要があります。
×㉚まず、第1式と第2式を引くことで、変数zを消去することができます。
(3x + 4y + z) – (2x + 4y – z) = 10 – 16
x + 2z = -3
次に、第1式と第2式を足すことで、変数yを消去することができます。
(3x + 4y + z) + (2x + 4y – z) = 10 + 16
5x + 8y = 26
これらの式をまとめると、
5x + 8y = 26
x + 2z = -3
となります。
この連立方程式を解くために、たとえば第1式の両辺を 5 で割ると、
x + (8/5)y = 26/5
となります。
次に、第2式の両辺を 2 で割ると、x + z = -3/2となります。
これらの式を用いて、変数yを消去することができます。
8/5 (x + 2z) = 8/5 (-3/2) = -12/5
x + (8/5)y = 26/5
従って、
x = -2
y = 5
z = -1/2
となります。
BingAIの回答は以下でした。
〇①853×7489は、6388117です。
×②1+1+1+6+1+1+1+1+1+2+1+1+1+1+3+1+1+1=23です。
×③(28×86)÷118の商は20、余りは16です。分数で表すと、20 16/118です。
×④この問題は、(0.564+0.77)×6.1-2.8=という式を解く問題です。答えは、3.8344です。
〇⑤44/121÷11/100は、44/121を11/100で割った数です。44/121÷11/100=44/121×100/11=400/121です。2×(44/121÷11/100)=2×(400/121)=800/121です。
〇⑥次の式が成り立つとき、aの値を求めなさい。5(a+8)/2=15
この方程式を解くには、まず左辺を計算します。左辺の分子にある5と(a+8)を掛け合わせ、その結果を2で割ります。これにより、次のようになります。
5(a+8)/2 = 15
5a + 40 = 30
5a = -10
a = -2
よって、aの値は-2です。
×⑦次の式が成り立つとき、x,yの値を求めなさい。12x-27y=183,-5x+8y=-60
この方程式は、2つの方程式で構成されています。まず、第1の方程式を解きます。
12x – 27y = 183
この方程式を解くには、まず左辺を計算します。左辺の分子にある12とxを掛け合わせ、その結果を27で割ります。これにより、次のようになります。
12x – 27y = 183
4x – 9y = 61
次に、第2の方程式を解きます。
-5x + 8y = -60
この方程式を解くには、まず左辺を計算します。左辺の分子にある-5とxを掛け合わせ、その結果を8で割ります。これにより、次のようになります。
-5x + 8y = -60
-5x + 8y = -60
この2つの方程式を連立して解くと、
x = -3
y = -7
となります。
×⑧次の式が成り立つとき、zの値を求めなさい。3z^2-2z-4=z
この式を整理すると、3z^2-3z-4=0となります。この式を解くために、まずは判別式を求めます。
D=(-3)^2-4×3×(-4)=9+48=57
次に、解の公式を使ってzの値を求めます。
z=(3±√57)/6
よって、⑧次の式が成り立つとき、zは(3+√57)/6または(3-√57)/6です。
×⑨次のxについての不等式を解くには、まずx^2-(a+2)x+2a=0の解を求めます。この方程式の判別式をDとすると、D＞0であるため、この方程式は二つの実解を持ちます。それらの解をα, β（ただしα＜β）としましょう。具体的にα, βを書き下してみれば、aが整数である場合、α＜1＜βが成り立ちます¹。
次に、x^2-(a+2)x+2a<0が成り立つためには、xがαより大きくβより小さい範囲である必要があります。よって、不等式x^2-(a+2)x+2a<0の解は、α<x<βであることがわかります。
×⑩cosθ=2/3のとき、sinθとtanθの値は以下のように求められます。
sinθ=√(1-cos^2θ)=√(1-(2/3)^2)=√(5/9)
tanθ=sinθ/cosθ=(√(5/9))/(2/3)=√(5/4)=±√5/2
よって、sinθ=√(5/9)、tanθ=±√5/2です。
×⑪3276を素因数分解すると、2×2×3×7×61となります。
×⑫次の2次方程式を解くには、二次方程式の解の公式を使用します。二次方程式の解の公式は、ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解を求めることができます。二次方程式の解の公式では、2つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。¹
x^2-2x+9+2√15=0 の場合、a=1、b=-2、c=9+2√15 です。¹
よって、x = (-b ± √(b^2-4ac)) / 2a を使用して解を求めると、x = 1 ± √15i となります。¹¹:
×⑬2x^2-5xy+2y^2+x+y-1を因数分解すると、(2x-y+1)(x+2y-1)になります¹。
×⑭x+y=3,x+y+xy=-7の連立方程式を解くには、代入法を使うと良いです¹。x+y=3からy=3-xとして、x+y+xy=-7に代入すると、x(3-x)+3-x=-7となります。これを整理すると、2x^2-2x-10=0となります。この二次方程式を解くと、x=-1またはx=5になります。y=3-xから、y=4またはy=-2になります。よって、解は(x,y)=(-1,4),(5,-2)です¹。
〇⑮x^9+1をx^2-1で割った余りを求めるには、剰余の定理を使うと良いです¹。まず、x^9+1を(x^2-1)で割ると、商がx^7+x^5+x^3+xで余りがx+1になります。よって、x^9+1をx^2-1で割った余りは、x+1です¹。
×⑯4x^3+3x-2=0の解き方についてお答えします。
この方程式は3次方程式であり、一般的には公式や因数分解を用いて解くことができます。しかし、この方程式は因数分解が難しいため、公式を用いて解くことが適切です。
公式を用いると、以下のようになります。
x = (-3 ± √(3^2 + 4442))/(24) = (-3 ± √(57))/8
よって、この方程式の解は、x = (-3 + √(57))/8 または x = (-3 – √(57))/8 です。
×⑰cos2x=cosxの解き方についてお答えします。
cos2x=cosxは、倍角公式を用いることで解くことができます。具体的には、以下のようになります。
cos2x = 2cos^2(x) – 1
cosx = cos(x)
よって、以下のようになります。
2cos^2(x) – 1 = cos(x)
2cos^2(x) – cos(x) – 1 = 0
この方程式を解くと、以下のようになります。
cos(x) = (1 ± √3)/4
しかし、0≦x＜2πの範囲で考えると、以下のようになります。
cos(x) = (1 + √3)/4 のとき、x = π/6, 11π/6
cos(x) = (1 – √3)/4 のとき、x = 5π/6, 7π/6
よって、0≦x＜2πの範囲でcos2x=cosxを満たすxは、x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6です。
×⑱a=log23(底は2),b=log35(底は3)とするとき、log2080(底は20)をa,bで表すと、以下のようになります。
log2080 = log2(80)/log2(20)
= log2(4*20)/log2(20)
= log2(4) + log2(20) – log2(20)
= 2log23 + log25 – log23
= 2a + b – a
= a + b
よって、log2080はa+bで表されます。
×⑲Σ（上がn,下がk=1）（3k-1）^2の値を求めるには、以下のように計算します。
Σ（上がn,下がk=1）（3k-1）^2
= Σ（上がn,下がk=1）(9k^2 – 6k + 1)
= 9Σ（上がn,下がk=1）k^2 – 6Σ（上がn,下がk=1）k + Σ（上がn,下がk=1）1
= 9(n(n+1)(2n+1)/6) – 6(n(n+1)/2) + n
= (3n^3 + 5n)/2
よって、Σ（上がn,下がk=1）（3k-1）^2の値は(3n^3 + 5n)/2です。
×⑳lim(n→∞)(√(n+5)-√(n+3))/(√(n+1)-√n)の極限を求めるには、以下のように計算します。
分子と分母にそれぞれ√(n+5)+√(n+3)と√(n+1)+√nを加え、分子と分母を有理化すると、
lim(n→∞)(√(n+5)-√(n+3))/(√(n+1)-√n)
= lim(n→∞)((√(n+5)-√(n+3))(√(n+5)+√(n+3)))/((√(n+1)-√n)(√(n+1)+√n))
= lim(n→∞)((n+5)-(n+3))/((n+1)-n)(√(n+5)+√(n+3)+√(n+1)+√n))
= lim(n→∞)2/(2*√(n+5))
= lim(n→∞)1/√(n+5)
= 0
よって、lim(n→∞)(√(n+5)-√(n+3))/(√(n+1)-√n)の極限は0です。
×㉑y=x/(x^2-x+1)を微分するには、以下のように計算します。
y=x(x^2-x+1)^(-1)とおくと、
y’=(x^2-x+1)^(-1)-x(2x-1)(x^2-x+1)^(-2)
=(x^2-x+1)^(-2)((x^2-x+1)-x(2x-1))
=(x^2-x+1)^(-2)(x^2-3x+1)
よって、y=x/(x^2-x+1)の導関数は、y’=(x^2-3x+1)/(x^2-x+1)^2です。
×㉒y=√(1+(sinx)^2)を微分するには、以下のように計算します。
y’=(1+(sinx)^2)^(-1/2)(2sinx cosx)
=sinx cosx/(√(1+(sinx)^2))
よって、y=√(1+(sinx)^2)の導関数は、y’=sinx cosx/(√(1+(sinx)^2))です。
×㉓y=(tanx)^sinx (0<x<π/2)を微分するには、以下のように計算します。
y’=sinx(tanx)^(sinx-1)(secx)^2+(tanx)^(sinx)log(tanx)cosx
よって、y=(tanx)^sinx (0<x<π/2)の導関数は、y’=sinx(tanx)^(sinx-1)(secx)^2+(tanx)^(sinx)log(tanx)cosxです。
〇㉔不定積分∫(5^x-e^x)dxを求めるには、以下のように計算します。
∫(5^x-e^x)dx=[(5^x)/ln5]-e^x+C
よって、不定積分∫(5^x-e^x)dxは、[(5^x)/ln5]-e^x+Cです。
×㉕xlog(x^2-2)dxの不定積分を求めるには、以下のように計算します。
∫xlog(x^2-2)dx=[(x^2/2)log(x^2-2)-x^2/4]+C
よって、不定積分∫xlog(x^2-2)dxは、[(x^2/2)log(x^2-2)-x^2/4]+Cです。
×㉖定積分∫(上が2、下が1)x^4・logxdxを求めるには、以下のように計算します。
∫(上が2、下が1)x^4・logxdx=[(1/5)x^5logx-(1/25)x^5]+C
よって、定積分∫(上が2、下が1)x^4・logxdxは、[(1/5)x^5logx-(1/25)x^5]+Cです。
×㉗3,4,6,6という4つの数字を1回ずつ使って10を作る方法は、以下の通りです。
3+4+6-6=7
よって、3,4,6,6という4つの数字を1回ずつ使って10を作る方法は、3+4+6-6=7です。
×㉘1という数字を4つ使って24を作る方法は、以下の通りです。
1+1+1+21=24
よって、1という数字を4つ使って24を作る方法は、1+1+1+21=24です。
△㉙18÷3(1+2）を計算するには、以下のように計算します。
18÷3(1+2）=18÷3×(1+2)=18÷3×3=6×3=18
よって、18÷3(1+2）の答えは、18です。
×㉚次の方程式を解くには、以下のように計算します。
3x+4y+z=10,2x+4y-z=16
まず、2つ目の式を変形します。
2x+4y-z=16
2x+4y=z+16
次に、1つ目の式からzを求めます。
z=10-3x-4y
これを2つ目の式に代入して、xとyを求めます。
2x+4y=(10-3x-4y)+16
5x+8y=26
y=(26-5x)/8
これを1つ目の式に代入して、xを求めます。
3x+4((26-5x)/8)+(10-3x-4((26-5x)/8))=10
x=2
よって、次の方程式の解は、(x,y,z)=(2,-1,1)です。
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