参考資料
ChatGPT4の回答は以下でした。
〇①この問題では、ビニールハウスの形状が長方形と半円がくっついた形になっています。まず、長方形と半円の部分の体積をそれぞれ求めて、その後、それらの体積を足し合わせます。
長方形の部分の体積を求めます。
長さ: 4m
幅: 6m
高さ: 8m
長方形の体積は、長さ×幅×高さで求められます。
体積 = 4m × 6m × 8m = 192立方メートル
次に、半円の部分の体積を求めます。
半径: 3m
高さ: 8m
円周率: 3.1
半円の断面積は、半径の2乗×円周率/2で求められます。
半円の断面積 = (3m)^2 × 3.1 / 2 = 9 × 3.1 / 2 = 13.95平方メートル
半円の部分の体積は、半円の断面積×高さで求められます。
体積 = 13.95平方メートル × 8m = 111.6立方メートル
最後に、長方形の部分の体積と半円の部分の体積を足し合わせます。
ビニールハウスの体積 = 192立方メートル + 111.6立方メートル = 303.6立方メートル
したがって、このビニールハウスの体積は、約303.6立方メートルです。
△②正11角形について、以下の情報を求めます。
【ア】内角の和:
正n角形の内角の和は (n – 2) × 180度です。この場合、n = 11 なので、
(11 – 2) × 180 = 9 × 180 = 1620度
【イ】一つの内角の大きさ:
内角の和をnで割ることで、一つの内角の大きさが求まります。
1620 / 11 = 147 + 3/11
したがって、一つの内角の大きさは 147 + 3/11 度です。
【ウ】対角線の本数:
正n角形の対角線の本数は n(n – 3) / 2 です。この場合、n = 11 なので、
11(11 – 3) / 2 = 11 × 8 / 2 = 44
したがって、対角線は44本引けます。
【ア】1620
【イ】147 + 3/11
【ウ】44
×③まず、普通列車と快速列車の長さと速さを求めます。
長さの比が4:1なので、普通列車の長さは、
240m × (4/5) = 192m
快速列車の長さは、
240m × (1/5) = 48m
速さの比が2:3なので、普通列車の速さは、
(2/5) × 30m/s = 12m/s
快速列車の速さは、
(3/5) × 30m/s = 18m/s
a) 普通列車と快速列車が向かい合って走っている時、すれ違うのに何秒かかるか。
二つの列車がすれ違うまでの距離は、二つの列車の長さの合計です。
192m + 48m = 240m
向かい合って走る場合、二つの列車の速さが合計されます。
12m/s + 18m/s = 30m/s
すれ違うまでの時間は、距離÷速さで求められます。
時間 = 240m ÷ 30m/s = 8秒
b) 普通列車と快速列車が同じ方向で走っている時、快速列車が普通列車に追いついてから追い越すまでに何秒かかるか。
同じ方向で走る場合、二つの列車の速さの差が考慮されます。
18m/s – 12m/s = 6m/s
快速列車が普通列車を追い越すまでの距離は、普通列車の長さです。
192m
追い越すまでの時間は、距離÷速さの差で求められます。
時間 = 192m ÷ 6m/s = 32秒
したがって、
a) 普通列車と快速列車が向かい合って走っている時、すれ違うのに8秒かかる。
b) 普通列車と快速列車が同じ方向で走っている時、快速列車が普通列車に追いついてから追い越すまでに32秒かかる。
〇④2%の食塩水と9%の食塩水を混ぜて7%の食塩水を作るために、まず9%の食塩水の量をx gとしましょう。
2%の食塩水の食塩の量は、300g × 0.02 = 6gです。
9%の食塩水の食塩の量は、x g × 0.09です。
混ぜた後の食塩水の量は、300g + x gです。そして、7%の食塩水ができるために、その食塩の量は (300 + x)g × 0.07 となります。
2%の食塩水と9%の食塩水を混ぜると、食塩の量は合計しても変わらないので、以下の式が立ちます。
6g + 0.09x = 0.07(300 + x)
この式を解いてxを求めます。
6 + 0.09x = 21 + 0.07x
0.02x = 15
x = 15 ÷ 0.02
x = 750
したがって、9％の食塩水を750g混ぜれば、7％の食塩水ができます。
×⑤この問題では、6種類の色珠を1個ずつつないで輪になるキーホルダーを作ります。
a) 輪になるキーホルダーの作り方は何通りあるか。
6種類の色珠をつなげる方法は、円順列の公式を用いて求めます。円順列では、(n-1)!で順列を求めます。この場合、n=6です。
(6-1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120通り
したがって、輪になるキーホルダーの作り方は120通りあります。
b) 特定の2種を隣り合わせにすると作り方は何通りあるか。
特定の2種類の色珠が隣り合わせになる場合、まずそれらを1つのグループとして考えます。このグループと残りの4種類の色珠をつなげる方法は、円順列の公式を用いて求めます。この場合、n=5です。
(5-1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24通り
ただし、グループ内の2種類の色珠の順序も考慮しなければなりません。2種類の色珠をつなげる方法は2通り（どちらが先か）です。
したがって、特定の2種を隣り合わせにするキーホルダーの作り方は、24通り × 2 = 48通りです。
×⑥この問題の数列は、以下の決定ルールに従っています：
1.奇数n番目（1番目、3番目、5番目…）には、その番号を2で割って切り上げた整数を並べる
2.偶数n番目（2番目、4番目、6番目…）には、その番号を2で割った整数の2倍を並べる
この決定ルールに基づいて、問題を解きます。
a) 左から99番目の数は、99を2で割って切り上げた整数、つまり50を並べます。
b) 左から50番目の数は50（50を2で割った整数の2倍）で、51番目の数は26（51を2で割って切り上げた整数）。したがって、その差は50 – 26 = 24です。
c) はじめに30が出るまでの数の和を求めるためには、最初の15番目までの数（1から30までの偶数と1から15までの奇数）の和を求めればよいです。偶数の和は2 + 4 + 6 + … + 30 = 2 * (1 + 2 + 3 + … + 15) となります。また、1から15までの奇数の和は、1 + 3 + 5 + … + 29 = 15^2 = 225です。偶数の和は2 * (1 + 2 + 3 + … + 15) = 2 * (15 * (15 + 1) / 2) = 240です。したがって、はじめに30が出るまでの数の和は、225 + 240 = 465です。
〇⑦布の粘着テープと白いビニールテープの個数をそれぞれx個、y個としましょう。
x + y = 520
布の粘着テープの定価は、原価に25%の利益を加えます。
96円 × 1.25 = 120円
白いビニールテープの定価は、原価に12%の利益を加えます。
75円 × 1.12 ≈ 84円
完売だと7680円の利益になることから、以下の式が立ちます。
120x – 96x + 84y – 75y = 7680
24x + 9y = 7680
これまでの情報から、連立方程式が立てられます。
連立方程式:
(1) x + y = 520
(2) 24x + 9y = 7680
(1)式より、y = 520 – x
これを(2)式に代入して、xを求めます。
24x + 9(520 – x) = 7680
24x + 4680 – 9x = 7680
15x = 3000
x = 200
求めたxを(1)式に代入して、yを求めます。
200 + y = 520
y = 320
したがって、白いビニールテープは320個仕入れたことになります。
×⑧この問題では、労働者の人数と労働の日数が直接比例するという考え方（つまり、労働者が増えれば同じ仕事を短時間で終えられる）を使います。
最初、3人が何日か働いて仕事の3/5を終えました。それを、3人×日数 = 3/5と表現します。ここで日数をxとしましょう。すると、3x = 3/5となります。これを解くと、x = 3/5/3 = 1/5です。つまり、3人が働いたのは1/5日です。
次に、残りの2/5の仕事を4人が2日かけて終えました。つまり、4人が1日働いて終わらせられる仕事量は、2/5 ÷ 2 = 1/5となります。
しかし、3人が1日働いたときに終わらせられる仕事量と、4人が1日働いたときに終わらせられる仕事量は等しくなければなりません。つまり、3人が働いた1/5日は、実際には4人が働いた1日と同じです。
したがって、3人が働いた日数は、4人が働いた1日と同じなので、3人が働いたのは実際には1日です。そして、その後4人がさらに2日働いたので、仕事全体でかかった日数は、1日 + 2日 = 3日です。
×⑨放物線 y = -2x^2 + 5x を平行移動することで、新しい放物線が得られます。この新しい放物線を y = -2(x-a)^2 + 5(x-a) + b と表すことができます。ここで、a と b は平行移動の量を表しています。
新しい放物線が点 (1, -3) を通ることから、以下の式が立ちます。
-3 = -2(1-a)^2 + 5(1-a) + b
また、新しい放物線の頂点が直線 y = -2x + 3 上にあることから、頂点の x 座標を求める必要があります。放物線 y = -2(x-a)^2 + 5(x-a) + b の頂点の x 座標は、x = a です。これを直線 y = -2x + 3 の式に代入して、頂点の y 座標を求めます。
y = -2a + 3
新しい放物線の頂点は (a, -2a + 3) です。この頂点が新しい放物線上にあることから、以下の式が立ちます。
-2a + 3 = -2(a-a)^2 + 5(a-a) + b
この式を整理すると、b = -2a + 3 となります。
これで、2つの式が得られました。
(1) -3 = -2(1-a)^2 + 5(1-a) + b
(2) b = -2a + 3
(2)式を(1)式に代入して、a を求めます。
-3 = -2(1-a)^2 + 5(1-a) + (-2a + 3)
この式を整理して、a を求めます。
-3 = -2(1 – 2a + a^2) + 5 – 5a + 3 – 2a
-3 = -2a^2 + 9a – 2
2a^2 – 9a + 1 = 0
この2次方程式を解くと、a = 1/2, 1 となります。ただし、a = 1 の場合は、元の放物線と同じになるため、a = 1/2 を採用します。
a = 1/2 を(2)式に代入して、b を求めます。
b = -2(1/2) + 3
b = 2
したがって、新しい放物線の方程式は y = -2(x – 1/2)^2 + 5(x – 1/2) + 2 です。
△⑩2次関数 y = x^2 + 2x + m と y = x^2 + mx + m + 3 が共にx軸と共有点を持つ場合、それぞれの2次関数の判別式 D は、0以上でなければなりません。これは、それぞれの2次関数が実数解を持っていることを意味します。
まず、y = x^2 + 2x + m の判別式 D1 を求めます。
D1 = b^2 – 4ac
= (2)^2 – 4(1)(m)
= 4 – 4m
D1 は 0 以上でなければなりません。
4 – 4m ≧ 0
m ≦ 1
次に、y = x^2 + mx + m + 3 の判別式 D2 を求めます。
D2 = b^2 – 4ac
= (m)^2 – 4(1)(m + 3)
= m^2 – 4m – 12
D2 も 0 以上でなければなりません。
m^2 – 4m – 12 ≧ 0
この不等式を解くために、まず2次関数の頂点を求めます。
頂点の x 座標: -b / 2a = 4 / (2 * 1) = 2
この値を関数に代入して頂点の y 座標を求めます。
頂点の y 座標: 2^2 – 4 * 2 – 12 = -4
頂点が (2, -4) のため、この2次関数は x = 2 で最小値 -4 を取ります。これにより、不等式は次のようになります。
m ≧ 2
これらの条件を組み合わせると、
1 ≧ m ≧ 2
定数 m の範囲は 1 ≦ m ≦ 2 となります。
×⑪三角形ABCにおいて、a = √7, b = 2, c = 3 です。まず、三角形ABCの角度を求めます。角度を求めるために、余弦定理を使います。
余弦定理は以下のように表されます。
cosA = (b^2 + c^2 – a^2) / (2bc)
cosB = (a^2 + c^2 – b^2) / (2ac)
cosC = (a^2 + b^2 – c^2) / (2ab)
各角の余弦を求めます。
cosA = (2^2 + 3^2 – (√7)^2) / (2 × 2 × 3) = (4 + 9 – 7) / 12 = 6/12 = 1/2
cosB = ((√7)^2 + 3^2 – 2^2) / (2 × √7 × 3) = (7 + 9 – 4) / (6√7) = 12/(6√7) = 2/√7
cosC = ((√7)^2 + 2^2 – 3^2) / (2 × √7 × 2) = (7 + 4 – 9) / (4√7) = 2/(4√7) = 1/(2√7)
角度A, B, Cを求めます。
A = arccos(1/2) = 60°
B = arccos(2/√7)
C = arccos(1/(2√7))
次に、線分BCの中点Mを求めます。中点Mを求めるには、線分BCを二等分する中線AMの性質を利用します。中線AMは、対辺BCの中点Mと頂点Aを結ぶ線分で、三角形ABCの面積の2倍の面積を持つ三角形AMBとなります。
三角形ABCの面積を求めるために、ヘロンの公式を使います。
ヘロンの公式は以下のように表されます。
面積K = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
ここで、s = (a+b+c)/2 です。
s を求めます。
s = (√7 + 2 + 3) / 2 = (√7 + 5) / 2
面積Kを求めます。
K = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
= √((√7 + 5)/2 × ((√7 + 5)/2 – √7) × ((√7 + 5)/2 – 2) × ((√7 + 5)/2 – 3))
これを簡単にすると、
K = √((1/2)(√7)(3√7))
= √((1/2)(21))
= √(21/2)
三角形AMBの面積は三角形ABCの面積の2倍です。
面積K_AMB = 2 × K = 2 × √(21/2) = √(42)
次に、三角形AMBの底辺BMを求めます。線分BCの中点Mを求めることで、BM = MCです。従って、BM = BC / 2 = c / 2 = 3 / 2です。
最後に、三角形AMBの高さを求めます。三角形の面積は、底辺と高さの積の半分です。したがって、高さh_AMBは以下のように計算できます。
面積K_AMB = (1/2) × BM × h_AMB
√(42) = (1/2) × (3/2) × h_AMB
この式を解くと、
h_AMB = 2√(42) / (3/2) = 4√(42) / 3
これで、三角形AMBの高さh_AMBが求まりました。三角形AMBの高さh_AMBは、中線AMの長さです。したがって、線分AMの長さは 4√(42) / 3 です。
×⑫円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 3, BC = 1, CD = 3, DA = 4とします。このとき、四角形ABCDの面積を求めます。
円に内接する四角形に対して、次の性質があります。
四角形の対角が円の直径をなす。
四角形の各角の大きさの和は360°。
まず、対角線ACを引くことで、2つの三角形に分割します。三角形ABCと三角形ADCです。
次に、内接円の半径をrとし、三角形ABCの内心をO1、三角形ADCの内心をO2とします。内接円の性質から、各辺と接点から内心への距離が等しいことがわかります。したがって、OA1 = OB1 = OC1 = r および OA2 = OD2 = OC2 = r です。
また、三角形の内接円の半径rは次のように表されます。
r = (三角形の面積) / (三角形の周の半分)
三角形ABCの面積をK_ABC、三角形ADCの面積をK_ADCとします。それぞれの三角形の周の半分を求めます。
三角形ABCの周の半分は、
s_ABC = (AB + BC + CA) / 2 = (3 + 1 + CA) / 2
三角形ADCの周の半分は、
s_ADC = (AD + DC + CA) / 2 = (4 + 3 + CA) / 2
これらを使って、次の等式を立てます。
K_ABC = r × s_ABC = r × (3 + 1 + CA) / 2
K_ADC = r × s_ADC = r × (4 + 3 + CA) / 2
四角形ABCDの面積は、K_ABC + K_ADCです。これらの和を求めると、
K_ABCD = K_ABC + K_ADC = r × ((3 + 1 + CA) / 2 + (4 + 3 + CA) / 2) = r × (11 + 2CA)
円周角の性質から、∠ABC = ∠ADC = 90°です。従って、三角形ABCおよび三角形ADCは直角三角形です。ピタゴラスの定理を使って、対角線ACの長さを求めます。
三角形ABCにおいて、
CA^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 1^2 = 10
三角形ADCにおいて、
CA^2 = AD^2 + DC^2 = 4^2 + 3^2 = 25
これらの式は矛盾しています。したがって、与えられた条件のもとでは、円に内接する四角形ABCDを作ることはできません。
×⑬白玉3個、赤玉5個、青玉4個が入っている袋から、4個の玉を取り出すとき、取り出した玉の色が2色である確率を求めます。
まず、すべての取り出し方の総数を求めます。12個の玉から4個を選ぶ組み合わせは、
C(12, 4) = 12! / (4! × 8!) = 495通りです。
次に、2色の玉が含まれる取り出し方を考えます。3つの場合があります。
白と赤の玉が含まれる場合：
白玉を1個、赤玉を3個選ぶ場合: C(3, 1) × C(5, 3) = 3 × 10 = 30通り
白玉を2個、赤玉を2個選ぶ場合: C(3, 2) × C(5, 2) = 3 × 10 = 30通り
合計: 30 + 30 = 60通り
白と青の玉が含まれる場合：
白玉を1個、青玉を3個選ぶ場合: C(3, 1) × C(4, 3) = 3 × 4 = 12通り
白玉を2個、青玉を2個選ぶ場合: C(3, 2) × C(4, 2) = 3 × 6 = 18通り
合計: 12 + 18 = 30通り
赤と青の玉が含まれる場合：
赤玉を1個、青玉を3個選ぶ場合: C(5, 1) × C(4, 3) = 5 × 4 = 20通り
赤玉を2個、青玉を2個選ぶ場合: C(5, 2) × C(4, 2) = 10 × 6 = 60通り
合計: 20 + 60 = 80通り
すべての場合を合計すると、60 + 30 + 80 = 170通りの取り出し方があります。
最後に、求める確率を計算します。
P(2色の玉が含まれる) = (2色の玉が含まれる取り出し方の総数) / (すべての取り出し方の総数)
P(2色の玉が含まれる) = 170 / 495 ≈ 0.3434
したがって、取り出した玉の色が2色である確率はおおよそ0.3434、または34.34％です。
〇⑭1個のさいころを3回続けて投げるとき、出る目の最大値が4である確率を求めます。
まず、すべての可能な出る目の組み合わせは6^3 = 216通りです。
次に、出る目の最大値が4である組み合わせを考えます。最大値が4であるため、出る目は1, 2, 3, 4のいずれかです。1個のさいころを3回投げるとき、各投げで出る目が1～4のいずれかであるため、その組み合わせは4^3 = 64通りです。
ただし、この64通りのうち、すべての出る目が4以下であるものが含まれています。このような組み合わせは、1～3の目が出る投げの組み合わせであり、3^3 = 27通りです。
したがって、最大値が4である組み合わせは、64 – 27 = 37通りです。
最後に、求める確率を計算します。
P(最大値が4) = (最大値が4である組み合わせの総数) / (すべての組み合わせの総数)
P(最大値が4) = 37 / 216 ≈ 0.1713
したがって、出る目の最大値が4である確率はおおよそ0.1713、または17.13％です。
×⑮AがBよりも先に3回勝つ確率を求めます。このような問題では、負の二項分布を用いて確率を計算します。
Aが3回勝つまで試合を続けます。Aが3回勝つためには、最後の試合でAが勝つ必要があります。そこで、最後にAが勝つ試合を除いた試合に注目します。これらの試合では、Aが2回勝ち、Bが0回以上勝ちます。
k回のBの勝利を考慮すると、試合数はk+2となります。Aが2回勝ち、Bがk回勝つ試合の並びは、C(k+1, 2)通りあります。また、それぞれの試合でA,Bが勝つ確率が1/3, 2/3であるため、その確率は(1/3)^3 × (2/3)^kです。
AがBよりも先に3回勝つ確率は、すべてのkに対する確率の総和として表すことができます。つまり、P(AがBよりも先に3回勝つ) = Σ [C(k+1, 2) × (1/3)^3 × (2/3)^k]
kは0から無限大までの整数となりますが、計算を簡単にするため、数回の試合でAが3回勝つことを考慮してみます。例えば、kを0～5の範囲で考えると、
P(AがBよりも先に3回勝つ) ≈ Σ C(k+1, 2) × (1/3)^3 × (2/3)^k
この和を計算すると、おおよそ0.2462となります。
したがって、AがBよりも先に3回勝つ確率はおおよそ0.2462、または24.62％です。実際には、kの上限をもっと大きくすれば、より正確な確率が求められますが、この値はおおよその確率として参考になります。
×⑯鋭角三角形ABCの外心Oは、△LMNにおいて、以下のような点になります。
△LMNのオイラー線上にある。
△LMNの重心(G)、内心(I)、垂心(H)と共にオイラー線上に位置している。
まず、鋭角三角形ABCにおいて、外心Oは各角の垂直二等分線が交わる点です。また、三角形の中点を結んだ線分（中線）は、対辺を二等分します。
△ABCの外心Oは、△LMNのオイラー線上に位置します。オイラー線は、重心(G)、内心(I)、垂心(H)、外心(O)が一直線上にあるという性質を持っています。鋭角三角形の場合、外心は三角形の内部にあります。したがって、△LMNにおいて、外心Oはオイラー線上のどこかに位置します。
ただし、外心Oが△LMNの重心、内心、垂心と同一の点になることはありません。これらの点はそれぞれ異なる性質を持っており、一般的には同じ点に一致することはありません。したがって、△LMNにおいて、外心Oはオイラー線上の他の点と共に位置することになります。
×⑰9の倍数になるためには、その数の各桁の和が9の倍数である必要があります。5桁の自然数43□8□の現在の桁の和は、4 + 3 + 8 = 15です。9の倍数で、15よりも大きい最小の数は18です。したがって、2つの□に入る数字の和は、18 – 15 = 3となります。
最大の自然数を求めたいので、最初の□にできるだけ大きい数を入れます。最初の□に9を入れると、次の□には-6を入れる必要がありますが、これは負の数で不適切です。次に考えられる最大の数は、最初の□に8を入れることです。その場合、次の□には3 – 8 = -5を入れる必要がありますが、これも負の数で不適切です。
最初の□に7を入れると、次の□には3 – 7 = -4を入れる必要がありますが、これも負の数で不適切です。最初の□に6を入れると、次の□には3 – 6 = -3を入れる必要がありますが、これも負の数で不適切です。
最初の□に5を入れると、次の□には3 – 5 = -2を入れる必要がありますが、これも負の数で不適切です。最初の□に4を入れると、次の□には3 – 4 = -1を入れる必要がありますが、これも負の数で不適切です。
最初の□に3を入れると、次の□には3 – 3 = 0を入れることができます。これが、最大の自然数で9の倍数になる条件を満たす唯一の選択肢です。したがって、5桁の自然数43□8□で、最大の9の倍数は43830です。
×⑱正の約数が10個である数を見つけるためには、約数の個数を調べる方法を考える必要があります。正の整数nについて、n = p1^e1 * p2^e2 * … * pk^ekと素因数分解できるとします（ここで、p1, p2, …, pkは異なる素数、e1, e2, …, ekはそれぞれの素数の指数）。このとき、nの正の約数の個数は(d1 + 1)(d2 + 1)…(dk + 1)となります。ただし、d1 = e1, d2 = e2, …, dk = ekです。
この性質を利用して、正の約数が10個である数を調べていきます。まず、10 = 10 * 1です。この場合、正の約数が10個である数は、1つの素数の9乗（指数が9）になります。ただし、200以下の範囲でこれを満たす数は存在しません。
次に、10 = 5 * 2です。この場合、正の約数が10個である数は、1つの素数の4乗（指数が4）と別の素数の1乗（指数が1）の積になります。この組み合わせで200以下の範囲を満たすものは、以下の通りです。
2^4 * 3^1 = 48
2^4 * 5^1 = 80
2^4 * 7^1 = 112 (この場合、200を超えるため、この組み合わせは考慮しなくてよい)
3^4 * 2^1 = 162
3^4 * 5^1 = 405 (この場合、200を超えるため、この組み合わせは考慮しなくてよい)
5^4 * 2^1 = 1250 (この場合、200を超えるため、この組み合わせは考慮しなくてよい)
これらの組み合わせにより、正の約数が10個である数は、48, 80, 162の3つです。したがって、200以下の自然数のうち、正の約数が10個である数の個数は3個です。
×⑲15/22と20/33のいずれに掛けても積が自然数となる最小の分数を求めるには、最小公倍数を使います。
まず、15/22と20/33を既約分数に変換します。
15/22 = (35)/(211) = 3/2 * 5/11
20/33 = (2^25)/(311) = 4/3 * 5/11
次に、両分数の分母の最小公倍数を求めます。
分母は2, 3, 11です。最小公倍数は2311=66です。
求める分数が両方に掛けても積が自然数となるためには、分子がこの最小公倍数の約数である必要があります。最小公倍数の約数は1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66です。
最も小さい分数は、最小公倍数の最も小さい約数である1を分子に持つ分数です。したがって、求める最も小さい分数は1/66です。この分数を両方の分数に掛けると、積が自然数になります。
×⑳x+2y+3z=12を満たす自然数の組を全て求めるために、x, y, zについての範囲を考慮します。
x, y, zは全て自然数ですから、x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1です。
また、x+2y+3z=12より、xは最大でも12です。
この条件のもとで、x, y, zの組を調べていきます。
x = 1のとき、
1 + 2y + 3z = 12
2y + 3z = 11
ここで、yは自然数であるため、zは最小でも2です。そうすると、2y + 3(2) = 11 から、y = 1です。したがって、(x, y, z) = (1, 1, 2)
x = 2のとき、
2 + 2y + 3z = 12
2y + 3z = 10
この場合、解なし
x = 3のとき、
3 + 2y + 3z = 12
2y + 3z = 9
この場合、解なし
x = 4のとき、
4 + 2y + 3z = 12
2y + 3z = 8
この場合、解なし
x = 5のとき、
5 + 2y + 3z = 12
2y + 3z = 7
この場合、解なし
x = 6のとき、
6 + 2y + 3z = 12
2y + 3z = 6
ここで、yは自然数であるため、zは最小でも1です。そうすると、2y + 3(1) = 6 から、y = 1です。したがって、(x, y, z) = (6, 1, 1)
x = 7以降、
xが7以上の場合、2y + 3zは5以下になります。これでは12にはならないため、解は存在しません。
以上の結果から、x+2y+3z=12を満たす自然数の組は、(1, 1, 2)と(6, 1, 1)の2つです。
×㉑正三角形になるためには、3点A, B, C間の距離が等しくなければなりません。まず、点Aと点Bの距離を求めます。
距離の公式を使って、
AB = √((3 – (-1))^2 + (-2 – 0)^2) = √(4^2 + (-2)^2) = √(16 + 4) = √20
次に、正三角形の性質を利用して、点Cが存在する位置を見つけます。点Cは、点Aと点Bを結ぶ線分の中点を通る直線上に存在し、それと直角に交わる位置にあります。
点Aと点Bの中点Mを求めます。
M = ((3 + (-1))/2, (-2 + 0)/2) = (1, -1)
ABの傾きは、(0 – (-2))/(-1 – 3) = 2/(-4) = -1/2 です。そのため、垂直二等分線の傾きは、1/(-1/2) = 2 です。
垂直二等分線の方程式は、y = 2(x – 1) – 1 です。これと、点Aと点Cの距離が√20であるという条件を使って、点Cの座標を求めます。
AC = √((x – 3)^2 + (y – (-2))^2) = √20
ここで、y = 2(x – 1) – 1 を代入して、
AC = √((x – 3)^2 + (2(x – 1) – 1 – 2)^2) = √20
この方程式を解くと、x = 0 または x = 2 が得られます。
x = 0 のとき、
y = 2(0 – 1) – 1 = -3
したがって、点C = (0, -3)
x = 2 のとき、
y = 2(2 – 1) – 1 = 1
したがって、点C = (2, 1)
これらの2つの解が得られますが、どちらも正三角形の条件を満たすため、正三角形を作る点Cの座標は、(0, -3) または (2, 1) です。
×㉒円x^2 + y^2 = 4の中心はO(0, 0)で半径は2、円(x – 5)^2 + y^2 = r^2の中心はO'(5, 0)で半径はrです。共通接線の方程式を求めるために、円と円の共通接線の性質を利用します。
共通接線は、両方の円の中心を結ぶ線分OO’上のある点Pを通り、OO’と直交します。点Pは、両方の円の中心の間の距離に対して、半径の比率で内分されます。つまり、点Pは以下の座標を持ちます。P(x_p, y_p) = (2/(2+r) * 5, 0)
接線の傾きは、OO’と垂直であるため、OO’の傾きの逆数でマイナスの値を持ちます。OO’の傾きは、(0 – 0)/(5 – 0) = 0ですが、これは垂直線であるため、接線は水平線になります。
従って、共通接線の方程式は y = y_p です。点Pの座標を代入して、
y = 0
これが、円x^2 + y^2 = 4と円(x – 5)^2 + y^2 = r^2の共通接線の方程式です。
×㉓点A(-1, 0)と点B(4, 0)を結ぶ線分ABを考えます。点Pが線分AB上でPA:PB = 1:4を満たす位置を求めるために、線分ABを内分点の公式を用いて分割します。
内分点の公式より、点Pの座標は次のようになります。
P(x_p, y_p) = ((4 * 1 + (-1) * 4) / (1 + 4), (0 * 1 + 0 * 4) / (1 + 4)) = (0, 0)
次に、点Pが線分ABの外側でPA:PB = 1:4を満たす位置を考えます。この場合、点Pは円周上に存在し、円の中心は線分AB上にあります。円の中心は、線分ABを5等分する点になります。
中点を求めるために、線分ABの長さを計算します。
AB = √((4 – (-1))^2 + (0 – 0)^2) = √(5^2) = 5
中心Oの座標は、
O(x_o, y_o) = ((-1 + 5 * 1/5), (0 + 0 * 1/5)) = (0, 0)
半径は、
r = (1/5) * 5 = 1
したがって、点Pの軌跡は、中心O(0, 0)、半径1の円と線分AB上の点P(0, 0)です。
円の方程式は次のようになります。
x^2 + y^2 = 1
従って、点Pの軌跡は、円 x^2 + y^2 = 1 と点 (0, 0) です。
×㉔三角形の垂心は、各頂点から対辺に下ろした垂線の交点です。また、垂心から各頂点へのベクトルは、対辺の中点からのベクトルの3倍になります。これを利用してOHベクトルを表します。
まず、△OABの各辺の長さを求めます。OA = 2√2, OB = √3 および OAベクトル・OBベクトル = 2 が与えられています。これらの情報からABの長さを求めます。
OAベクトル・OBベクトル = |OAベクトル||OBベクトル|cosθ = 2
2 = (2√2)(√3)cosθ
cosθ = 2 / (6) = 1/3
ここでθは∠AOBです。次に、余弦定理を使って辺ABの長さを求めます。
AB^2 = OA^2 + OB^2 – 2(OA)(OB)cosθ
AB^2 = (2√2)^2 + (√3)^2 – 2(2√2)(√3)(1/3)
AB^2 = 8 + 3 – 4√6
AB = √(11 – 4√6)
次に、△OABの各辺の中点を求めます。中点MはOAを中点に持ち、中点NはOBを中点に持ちます。
M = (O + B) / 2 = (aベクトル + bベクトル) / 2
N = (O + A) / 2 = (aベクトル – bベクトル) / 2
最後に、OHベクトルを求めます。OHベクトルはOMベクトルの3倍です。
OHベクトル = 3OMベクトル = 3(M – O) = 3((aベクトル + bベクトル) / 2 – aベクトル)
OHベクトル = 3/2 bベクトル
したがって、OHベクトル = 3/2 bベクトルです。
×㉕まず、OMベクトルを求めます。ODベクトル = OCベクトル – OAベクトル = cベクトル – aベクトル で、GDベクトル = ODベクトル – OGベクトル です。点Gは辺ODの中点なので、OGベクトル = 1/2 ODベクトル = 1/2 (cベクトル – aベクトル) となります。そして、GMベクトル = 2GDベクトル より、GMベクトル = 2(ODベクトル – 2OGベクトル) となります。
さらに、OMベクトル = OGベクトル + GMベクトル ですので、OMベクトル = 1/2 (cベクトル – aベクトル) + 2(cベクトル – 2aベクトル) = 3/2 aベクトル + 3/2 cベクトル です。
次に、平面ABC上にある点Pは、ベクトルOP = k1 * aベクトル + k2 * bベクトルと表されます。ここで、k1とk2はスカラーです。
OMベクトルとOPベクトルの関係を用いて、OMベクトル = λ * OPベクトル となるようなスカラーλを求めます。OMベクトル = λ * (k1 * aベクトル + k2 * bベクトル) となります。
OMベクトル = 3/2 aベクトル + 3/2 cベクトル = λ * (k1 * aベクトル + k2 * bベクトル)
aベクトル、bベクトル、cベクトルについて係数を比較して、以下の連立方程式を得ます。
3/2 = λ * k1
0 = λ * k2
3/2 = λ * 0
上の連立方程式より、k1 = 1, k2 = 0 です。従って、OPベクトル = 1 * aベクトル + 0 * bベクトル = aベクトル となります。
×㉖等差数列の一般項は次のように表されます。
an = a + (n-1)d
ここで、aは初項、dは公差、nは項数です。
第10項が24なので、
a + 9d = 24 (1)
第30項が64なので、
a + 29d = 64 (2)
(2) – (1)を計算すると、
20d = 40
これを解くと、d = 2 が求まります。これを(1)に代入して、
a + 9(2) = 24
a = 6
初項が6で公差が2の等差数列になります。初めて200より大きくなる項数を求めるために、等差数列の和の公式を用います。
Sn = n(a + an) / 2
ここで、Snはn項までの和です。Sn > 200となる最小のnを求めます。
n(6 + (6 + (n-1)2)) / 2 > 200
n(12 + 2(n-1)) > 400
n(2n + 10) > 400
この不等式を満たす最小の整数nを見つけるために、n=1から順に試していきます。
n = 1のとき： 1(12) < 400（不等式が成立しない） n = 2のとき： 2(14) < 400（不等式が成立しない） … n = 9のとき： 9(28) < 400（不等式が成立しない） n = 10のとき： 10(30) = 300 > 400（不等式が成立）
従って、初めて200より大きくなるのは、初項から第10項までの和です。
×㉗ピックの定理を用いて、格子点の個数を求めます。ピックの定理は、格子点を頂点とする多角形の面積A、境界上の格子点の数B、内部にある格子点の数Iに対して、
A = I + B/2 – 1
という関係が成り立ちます。まず、三角形の面積を求めます。
三角形の座標は(0,0),(2n,0),(0,n)です。この三角形の面積は、
A = 1/2 * base * height = 1/2 * 2n * n = n^2
次に、境界上の格子点の数Bを求めます。3つの辺それぞれについて、格子点の数を求める必要があります。
辺(0,0) – (2n,0)：x座標が0から2nまでの格子点があります。点数は2n + 1。
辺(0,0) – (0,n)：y座標が0からnまでの格子点があります。点数はn + 1。
辺(2n,0) – (0,n)：最大公約数が1である整数ペア(x, y)が格子点になります。この場合、x = 2k, y = k (kは自然数)という形になります。kが1からnまでのn個の整数に対応しているため、点数はn。
合計で、境界上の格子点の数は
B = (2n + 1) + (n + 1) + n – 3 = 4n – 1
（各頂点を3回数えてしまっているので、3を引いています）
ピックの定理を用いて、内部にある格子点の数Iを求めます。
n^2 = I + (4n – 1)/2 – 1
I = n^2 – 2n + 1
従って、三角形の周および内部にある格子点の個数は、I + B = (n^2 – 2n + 1) + (4n – 1) = n^2 + 2n = n(n+2)です。
×㉘この漸化式は、線形斉次漸化式であるため、特性方程式を求めて一般項を求めることができます。特性方程式は、
r^2 + r – 6 = 0
これを解くと、r = 2, r = -3 となります。
従って、数列{an}の一般項は以下の形式で表すことができます。
an = A(2^n) + B(-3^n)
初項 a1 = 0 および a2 = 1 を用いて、A と B を求めます。
a1 = A(2^1) + B(-3^1) = 2A – 3B = 0
a2 = A(2^2) + B(-3^2) = 4A – 9B = 1
この連立方程式を解くと、A = 3/5, B = 2/5 となります。
従って、数列{an}の一般項は、
an = (3/5)(2^n) + (2/5)(-3^n)
×㉙点Qが線分OPを2:1に内分するので、Qの座標は点Oと点Pの座標の重心です。
まず、点Pの極座標を(r, θ)とし、直交座標に変換します。点Pの直交座標は、(rcos(θ), rsin(θ)) です。そして、点Qの直交座標は以下のようになります。
Qx = (2 * 0 + 1 * r * cos(θ)) / 3 = r * cos(θ) / 3
Qy = (2 * 0 + 1 * r * sin(θ)) / 3 = r * sin(θ) / 3
ここで、点Qが円C上にあるため、Qと点Oと点(a, 0)の距離が等しいことがわかります。つまり、以下の関係が成り立ちます。
sqrt(Qx^2 + Qy^2) = sqrt((Qx – a)^2 + Qy^2)
これを整理して、極座標系に戻します。
(r^2 * cos^2(θ) / 9 + r^2 * sin^2(θ) / 9) = (r * cos(θ) – a)^2 / 9 + r^2 * sin^2(θ) / 9
両辺に9を掛けて、整理すると：
r^2 = (r * cos(θ) – a)^2
ここで、点Pが円C上にあることを利用して、極座標の関係式を用いて、点Pと点(a, 0)の距離を計算します。
r^2 = r^2 * cos^2(θ) – 2 * a * r * cos(θ) + a^2
この式を用いて、上記の式に代入します。
r^2 * cos^2(θ) – 2 * a * r * cos(θ) + a^2 = (r * cos(θ) – a)^2
これを整理すると：
r = 2 * a * cos(θ)
従って、求める軌跡の極方程式は、r = 2 * a * cos(θ) です。
×㉚円盤法を使って、立体の体積Vを求めます。
y = sin(x) と y = cos(x) が交わる点を見つけるために、sin(x) = cos(x) という方程式を解きます。
sin(x) = cos(x) ⇒ tan(x) = 1
この方程式は x = π/4 および x = (5/4)π の範囲内で 2 つの解を持ちます。
次に、x軸を中心に回転させるために円盤の面積を求めます。各円盤の半径は y の値ですが、y = sin(x) と y = cos(x) の間にあるため、半径は |sin(x) – cos(x)| となります。円盤の面積はπ倍した半径の二乗で表すことができます。つまり、円盤の面積は π * |sin(x) – cos(x)|^2 です。
最後に、この面積に関する積分を実行して体積Vを求めます。積分の範囲は x = π/4 から x = (5/4)π です。
V = ∫[π/4, (5/4)π] π * |sin(x) – cos(x)|^2 dx
これを計算すると、
V = π * ∫π/4, (5/4)π – 2 * sin(x) * cos(x) + cos^2(x)) dx
V = π * [∫π/4, (5/4)π + cos^2(x)) dx – 2 * ∫[π/4, (5/4)π] sin(x) * cos(x) dx]
sin^2(x) + cos^2(x) = 1 であるため、
V = π * [∫[π/4, (5/4)π] dx – 2 * ∫[π/4, (5/4)π] sin(x) * cos(x) dx]
ここで、u = sin(x), du = cos(x)dx を使って部分積分を計算します。
V = π * [(5/4)π – π/4 – 2 * ∫[sin(π/4), sin((5/4)π)] u du]
V = π * [π – 2 * (1/2)(1 – (-1))]
V = π * [π – 2]
したがって、求める立体の体積Vは V = π * (π – 2) です。
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