参考資料
ChatGPT3.5の回答は以下でした。
×①まず、このビニールハウスの形状を考えてみましょう。長方形の面積は底辺の長さをa、高さをbとするとabで表せます。このビニールハウスの長方形部分は、底辺が4m、高さが6mなので、面積は4m×6m=24m²です。
また、半径3mの半円が2つあるので、半円の面積は半径をrとすると、πr²/2で求められます。ここで、円周率を3.1とすると、半円の面積は3.1×(3m)²/2=14.13m²となります。したがって、2つの半円の合計面積は28.26m²です。
これらの面積を合算して、ビニールハウス全体の面積を求めます。
24m² + 28.26m² = 52.26m²
次に、ビニールハウスの長さ8mを幅としたときの立方体の体積を求めます。これは、面積に長さをかけることで求めることができます。
52.26m² × 8m = 418.08m³
したがって、このビニールハウスの体積は418.08m³となります。
△②正11角形の内角の和は、(11-2)×180°= 9×180°= 1620°となります。【ア】は1620となります。
正11角形の一つの内角の大きさは、内角の和を11で割ることで求めることができます。
1620° ÷ 11 = 147.27°
したがって、正11角形の一つの内角の大きさは147.27度（分数にすると、約 $\frac{2945}{22}$ 度）となります。【イ】は約147度（分数にすると、約 $147 \frac{3}{11}$ 度）となります。
正11角形の対角線の本数は、11本の頂点から2つずつ選んで線を引くと、11C2通りの線が引けます。11C2は、
${}{11}C{2}=\frac{11!}{2!(11-2)!}=\frac{11 \times 10}{2 \times 1}=55$
と計算できます。したがって、正11角形の対角線は55本引けることがわかります。【ウ】は55本となります。
×③a) 普通列車と快速列車が向かい合って走っているとき、すれ違うのにかかる時間を求めます。このとき、2つの列車の速度を足し合わせたものが、すれ違う速度になります。
普通列車の速度をv1、快速列車の速度をv2とすると、速さの比から、
v1 : v2 = 2 : 3
となります。また、長さの比から、
普通列車の長さ : 快速列車の長さ = 4 : 1
となるので、普通列車の長さを4x、快速列車の長さをxとおくと、列車の合計の長さは5xとなります。すれ違う速度は、v1 + v2 = 2x/t + 3x/t = 5x/t （tはすれ違うのにかかる時間）
ここで、すれ違う距離は普通列車と快速列車の合計の長さである5xであり、この距離は、速度×時間で求めることができます。
5x = (2x/t + 3x/t) × t
5x = 5x
よって、どのような速度でも、すれ違う時間は0になります。すれ違う瞬間は速度の和が0になる瞬間であり、すれ違った後も両列車は進み続けます。したがって、答えは「すれ違うのにかかる時間は0秒」となります。
b) 普通列車と快速列車が同じ方向で走っているとき、快速列車が普通列車に追いついてから追い越すまでにかかる時間を求めます。このとき、快速列車が普通列車に追いつくまでにかかる時間を求め、その後、両列車の速度が同じになるまでの時間を足し合わせます。
普通列車の速度をv1、快速列車の速度をv2、列車の長さを前問と同様にx、4xとすると、快速列車が普通列車に追いつくまでにかかる時間t1は、次のように求められます。
v2 – v1 = (3/2)v1 – v1 = (1/2)v1
快速列車の速度が普通列車を追いつくまでにかかる時間t1は、
xt1 = x / ((1/2) v1) = 2x / v1
ここで、両列車の速度が同じになる位置で、快速列車が普通列車を追い越す速度は、両列車の速度の差分と同じになります。すなわち、
v2 – v1 = (3/2)v1 – v1 = (1/2)v1
です。
両列車が同じ速度で進むとき、追い越される側の列車は、追いつく列車の長さを移動する距離だけ進むため、追い越される側の列車の進む距離Lは、
L = 4x – vt1
となります。ここで、vは両列車が同じ速度で進むときの速度です。また、追い越される側の列車が追い越す側の列車の長さを追い越すまでにかかる時間をt2とすると、t2は、
t2 = L / v
となります。これらを合わせて、追い越すまでにかかる時間tは、
t = t1 + t2 = 2x / v1 + (4x – vt1) / v
となります。
これをvについて解くと、
v = v1 – 3/2(2x) / t
となります。したがって、追い越すまでにかかる時間tを求めるには、v1を知る必要があります。v1は、普通列車の長さをlとすると、
240m – l : l = 4 : 1
から、
l = 48m
となります。したがって、普通列車の速度v1は、
v1 = l / t1 = l / (2x / v1) = v1^2 x / 2x
となります。これを整理すると、
v1^3 = 2lx
v1^3 = 3/2 * 240 * 48
v1 = 18.973m/s
です。
したがって、追い越すまでにかかる時間tは、
t = 2x / v1 + (4x – vt1) / v
t = 2(240m) / 18.973m/s + (4(240m) – (18.973m/s – (1/2)v1)t1) / (v1 – (3/2)(2x)/t)
t = 28.8秒
となります。
×④まず、混ぜる前の食塩の量を求めます。2%の食塩水の中に含まれる食塩の量は、300g × 0.02 = 6gです。
次に、混ぜた後の食塩水の量を求めます。このとき、混ぜる前と混ぜた後の食塩の量は同じになることに注意してください。混ぜた後の食塩水の総量をxとすると、混ぜる前の食塩水と9%の食塩水を混ぜた後、7%の食塩水を作ることができます。このときの式は、
6g + 0.09y = 0.07x
ここで、yは混ぜる9%の食塩水の量を表します。また、x + y = 300gという制約条件もあります。
これらの式を解くと、
y = 120g
となります。したがって、9%の食塩水を120g混ぜることで、7%の食塩水を作ることができます。
×⑤a) 6種類の色珠を1個ずつつないで輪になるキーホルダーを作る方法は、まず1個の色珠を選ぶことから始めます。次に、輪の中での位置を決めるため、選んだ色珠から時計回り、反時計回りのどちらの方向にもう1個色珠をつなぎます。そして、その2つの色珠の間に挟まる3つの色珠を順番につなぎ、残りの2つの色珠を両端につなぎます。つなげ方が同じで回転や反転で一致する場合は同じ方法として数えます。したがって、輪になるキーホルダーの作り方は、まず1個の色珠を選ぶ方法が6通りあり、そのあとに順番に5つの色珠をつなげる方法が5!通りあります。しかし、6つの色珠をつないだ時、回転や反転で同じものが数えられてしまうため、この数を6で割って重複を除きます。
よって、輪になるキーホルダーの作り方は、
6 × (5!) / 6 = 120 通りあります。
b) 2つの特定の色珠を隣り合わせにするという条件がある場合、まずその2つの色珠を1つの色珠として扱います。つまり、5種類の色珠を1個ずつつないで輪になるキーホルダーを作ることになります。この場合の作り方は、a)で求めた方法と同じで、5!通りあります。しかし、2つの特定の色珠は1つの色珠として扱ったため、最終的な作り方の数は、2つの色珠の間に入れることができる2種類の色珠の場所を2通り選ぶことができるため、2倍となります。
よって、2つの特定の色珠を隣り合わせにすると作り方は、
2 × 5! = 240 通りあります。
×⑥与えられた数列は、以下のような規則に従っています。
・偶数番目の項は、その番号を2で割った値と等しい。
・奇数番目の項は、その番号を2で割った値の2倍と等しい。
この規則に基づいて、問いに答えていきましょう。
a) 左から99番目にはどの数を並べれば良いか。
規則に従って数列を生成していくと、99番目の項は奇数番目になります。
99を2で割った商は49であり、その2倍は98です。
したがって、左から99番目には98を並べる必要があります。
b) 左から50番目と51番目の数の差を求めなさい。
50番目の項は偶数番目であり、その番号を2で割った商は25です。
したがって、50番目の項は25です。
51番目の項は奇数番目であり、その番号を2で割った商は25で、その2倍は50です。
したがって、51番目の項は50です。
50番目と51番目の数の差は、50 – 25 = 25です。
c) はじめに30が出るまでの数の和を求めなさい。
はじめに30が出るまでの数は、1から29までの数です。
この数列は等差数列であり、公差は1です。
等差数列の和を求める公式を使用します。
和 = (項数 × (初項 + 末項)) ÷ 2
項数は29です。
初項は1、末項は29です。
和 = (29 × (1 + 29)) ÷ 2
= (29 × 30) ÷ 2
= 435
したがって、はじめに30が出るまでの数の和は435です。
×⑦まず、原価96円の布の粘着テープの仕入れ数をxとすると、白いビニールテープの仕入れ数は520-xとなります。
布の粘着テープの利益率は25％ですから、定価は原価の1.25倍となります。同様に、白いビニールテープの利益率は12％ですから、定価は原価の1.12倍となります。
また、完売すると7680円の利益になるため、定価の合計から原価の合計を引いた額が7680円になります。この式を解くと、
(96x × 1.25) + (75(520-x) × 1.12) – (96x + 75(520-x)) = 7680
となります。
これを整理すると、
11.2x = 1800
x = 160.71
となります。これは仕入れた布の粘着テープの数ですが、整数での仕入れ数が前提であるため、161本仕入れたと考えられます。
したがって、白いビニールテープの仕入れ数は、
520 – 161 = 359
となります。
×⑧仕事全体を完成するのにかかる日数をxとします。
最初の3人が働いて仕事の3/5を終えると、残りの仕事の2/5が完成しています。つまり、残りの2/5を4人で2日で終わらせることができます。
したがって、1日について考えると、4人で残りの2/5を終わらせるのにかかる日数は2日なので、1日に進める仕事の量は2/5 ÷ 2 = 1/5 です。
次に、最初の3人が働いて終えた仕事の量を求めるために、1日に進める仕事の量を3で割ります。つまり、1日に進める仕事の量は1/5 ÷ 3 = 1/15 です。
最初の3人が働いて終えた仕事の量は、全体の3/5です。つまり、1日に進める仕事の量の逆数である15/1 に 3/5 をかけることで、最初の3人が働いた日数を求めることができます。
最初の3人が働いた日数は、15/1 × 3/5 = 9 日です。
したがって、仕事全体を完成するのにかかる日数は、最初の3人が働いた日数と残りの4人が働いた日数を合計します。
仕事全体を完成するのにかかる日数は、9日 + 2日 = 11日です。
×⑨まず、元の放物線y=-2x^2＋5xの頂点のx座標は、頂点のx座標は、x = -b/2a = -5/(2(-2)) = 5/4であることがわかります。また、この頂点のy座標は、x = 5/4をy=-2x^2＋5xに代入して求めることができます。つまり、
y = -2(5/4)^2 + 5(5/4) = -25/8 + 25/4 = 25/8
となります。したがって、元の放物線の頂点は(5/4, 25/8)となります。
次に、新しい放物線の方程式をy=a(x-h)^2+kとおくと、点(1,-3)を通るために、
-3 = a(1-h)^2 + k
となります。また、頂点が直線y=-2x＋3上にあるために、
k = -2h + 3
となります。これらの式をまとめると、
-3 = a(1-h)^2 – 2h + 3
-6 = a(1-h)^2 – 4h
-6 = a(1-2h+h^2) – 4h
-6 = a – 2ah + ah^2 – 4h
-6 = ah^2 + (-2a-4)h + a
となります。ここで、元の放物線の頂点が新しい放物線の頂点の位置からどの程度平行移動したかに着目すると、h = 5/4であることから、平行移動の量はk = 25/8であるとわかります。したがって、k = -2h + 3の式から、
25/8 = -2(5/4) + 3
25/8 = 1/2
となります。これは矛盾するため、新しい放物線の頂点が直線y=-2x＋3上にあることはあり得ません。したがって、この問題には解が存在しないことになります。
△⑩まず、y=x^2+2x+mとy=x^2+mx+m+3が共有するx座標は、それぞれが0になるときです。つまり、
x^2 + 2x + m = 0
x^2 + mx + m + 3 = 0
の解が共通して存在するように、mの範囲を求めます。
まず、1つ目の方程式について、判別式を求めると、
D = (2)^2 – 4・1・m = 4 – 4m
となります。共有点が存在するためには、この判別式Dが0以上である必要があります。つまり、
4 – 4m ≥ 0
4m ≤ 4
m ≤ 1
が成り立ちます。
次に、2つ目の方程式について、同様に判別式を求めると、
D = m^2 – 4(m+3) = m^2 – 4m – 12
となります。共有点が存在するためには、この判別式Dが0以上である必要があります。つまり、
m^2 – 4m – 12 ≥ 0
(m-6)(m+2) ≥ 0
となります。したがって、m ≤ -2またはm ≥ 6のとき、または-2 ≤ m ≤ 6のとき、共有点が存在することがわかります。
最後に、m ≤ 1かつ-2 ≤ m ≤ 6の共通部分を求めると、mの範囲は、
-2 ≤ m ≤ 1
となります。したがって、定数mの範囲は、-2以上1以下となります。
×⑪三角形の辺の長さがa=√7, b=2, c=3であるため、余弦定理より、
cos A = (b^2 + c^2 – a^2) / (2bc) = (2^2 + 3^2 – (√7)^2) / (2・2・3) = 1/3
となります。
また、三角形の内角の和は180度であるため、A+B+C=180度です。ここで、三角形ABCの高さhをAMとおくと、h=BC・sinAとなります。一方、三角形ABCの面積Sは、S=1/2・BC・hとなります。したがって、sinAは、
sinA = 2S / BC
と表すことができます。
三角形ABCの面積は、ヘロンの公式を用いて、
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(6(6-√7))
となります。ここで、sは三角形の半周です。したがって、sinAは、
sinA = 2√(6(6-√7)) / BC = 2√(6(6-√7)) / 3
となります。
よって、h=BC・sinAとなるので、
h = 1/2・BC・sinA = √(6(6-√7)) / 3
となります。そして、AMはBCの中点なので、AM=1/2・BCとなります。したがって、
AM = 1/2・BC = 1/2・2h / sinA = √(6(6-√7)) / (2/3)√2
となります。これを簡単にすると、
AM = 3√(6(6-√7)) / 2
となります。よって、AMの長さは、3√(6(6-√7)) / 2となります。
×⑫四角形ABCDに内接する円の中心をOとおきます。すると、四角形ABCDの対角線ACとBDは、円の直径になるため、OはACとBDの交点でもあります。
まず、ABCDが台形であることを示します。三角形ABCと三角形CDAの面積をそれぞれ求めると、S(ABC) = 1/2・AB・BC・sin∠BAC = 1/2・3・1・sin(90度) = 3/2
S(CDA) = 1/2・CD・DA・sin∠CDA = 1/2・3・4・sin(90度) = 6
となります。ここで、∠BAC + ∠CDA = 180度であるため、sin(∠BAC) = sin(∠CDA)となります。したがって、S(ABC) = S(CDA)となり、四角形ABCDは台形であることがわかります。
次に、台形ABCDの面積を求めます。対角線ACとBDの長さは、それぞれ、
AC = AB + CD = 3 + 3 = 6
BD = BC + DA = 1 + 4 = 5
となります。また、Oは対角線ACとBDの交点であるため、対角線ACとBDの垂直二等分線であるEFがOを通ることがわかります。したがって、EFは台形ABCDの底辺に平行な直線であり、底辺の中点Mを通ることもわかります。ここで、EFの長さを求めるために、三角形OABと三角形OCDの面積をそれぞれ求めます。すると、
S(OAB) = 1/2・AB・r
S(OCD) = 1/2・CD・r
となります。ここで、rは円の半径です。また、S(OAB) = S(OCD)であるため、
AB・r = CD・r
となります。したがって、r = AB = CD = 3となります。よって、
S(OAB) = 1/2・3・3 = 4.5
S(OCD) = 1/2・3・3 = 4.5となります。
三角形OMFは、底辺MFの長さがBDの1/2であるため、MF = BD/2 = 2.5となります。また、三角形OMFと三角形OAB、三角形OMFと三角形OCDは相似であるため、EFの長さは、EF = MF・(S(OAB)/S(OMF)) = 2.5・(4.5/(4.5+4.5)) = 1.25となります。
底辺の長さがACで高さがEFである台形の面積は、
S = 1/2・(AB+CD)・EF = 1/2・6・1.25 = 3.75
となります。したがって、四角形ABCDの面積は3.75となります。
×⑬4個の玉を取り出すとき、取り出した玉の色が2色である確率を求めるためには、以下の2つの場合を考えます。
(1) 2つの色が1つずつ含まれている場合
(2) 2つの色が同じ色である場合
まず、(1)の場合を考えます。この場合、取り出す玉の組み合わせは、
白玉1個、赤玉3個の場合：3通り
白玉1個、青玉3個の場合：3通り
赤玉1個、白玉3個の場合：3通り
赤玉1個、青玉3個の場合：6通り
青玉1個、白玉3個の場合：3通り
青玉1個、赤玉3個の場合：6通り
したがって、色が2色である組み合わせは3+3+3+6+3+6=24通りとなります。
次に、(2)の場合を考えます。この場合、取り出す玉の組み合わせは、
白玉2個、赤玉2個の場合：3通り
赤玉2個、青玉2個の場合：10通り
青玉2個、白玉2個の場合：3通り
したがって、色が同じ組み合わせは3+10+3=16通りとなります。
全ての組み合わせの数は、12個から4個を選ぶ組み合わせの数である、
C(12,4) = 12!/4!8! = 495
となります。よって、取り出した玉の色が2色である確率は、
(24+16)/495 = 40/495
となります。したがって、取り出した玉の色が2色である確率は約0.08となります。
×⑭さいころを1回投げるとき、出る目の最大値が4である確率は、1から4の目が出る確率の和である、
P(最大値が4以下) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 4/6 = 2/3
つまり、さいころを1回投げたとき、出る目の最大値が4以下である確率は2/3であることがわかります。
3回の投げで出る目の最大値が4以下であるためには、3回の投げのうち、すべての回で出る目が4以下である必要があります。それぞれの投げを独立した事象と考えると、3回とも出る目が4以下である確率は、
P(3回とも最大値が4以下) = P(最大値が4以下の出目が出る)の3乗
= (2/3)^3
= 8/27
となります。したがって、1個のさいころを3回続けて投げたとき、出る目の最大値が4である確率は8/27となります。
×⑮AがBよりも先に3回勝つ確率を求めるためには、以下のような場合を考えます。
(1) Aが3勝する前にBが2勝する場合
(2) Aが3勝する前にBが1勝する場合
(3) Aが3勝する前にBが0勝する場合
それぞれの場合の確率を求め、足し合わせることで、AがBよりも先に3回勝つ確率を求めます。
(1) Aが3勝する前にBが2勝する確率は、試合が5回行われる場合のみ発生します。試合が5回行われる場合、Aが勝つ場合とBが勝つ場合の順序は以下の2通りしかありません。
AABBA
ABABA
試合の順序に注目すると、(1)の場合には5回目の試合は必ずBが勝たなければならないことがわかります。また、Aが3勝する前にBが2勝する場合は、最後の1勝を挙げた選手が勝利することになるため、5回目の試合でBが勝利する必要があります。つまり、(1)の確率は、
P(3勝前にBが2勝) = 2/3・2/3・1/3・1/3・2/3 = 8/243
となります。
(2) Aが3勝する前にBが1勝する確率は、試合が4回行われる場合と5回行われる場合の2つが考えられます。試合が4回行われる場合、Aが勝つ場合とBが勝つ場合の順序は以下の2通りしかありません。
AABB
ABAB
試合の順序に注目すると、(2)の場合には、4回目の試合でBが勝つ必要があります。また、Aが3勝する前にBが1勝する場合は、最後の1勝を挙げた選手が勝利することになるため、5回目の試合でAが勝利する必要があります。つまり、(2)の確率は、
P(3勝前にBが1勝) = (2/3・2/3・1/3・1/3 + 2/3・1/3・2/3・1/3)・2/3 = 16/243
となります。
(3) Aが3勝する前にBが0勝する場合は、試合が3回行われる場合と4回行われる場合の2つが考えられます。試合が3回行われる場合、Aが勝つ場合とBが勝つ場合の順序は以下の2通りしかありません。
AAB
ABA
試合の順序に注目すると、(3)の場合には、3回目の試合でAが勝つ必要があります。また、Aが3勝する前にBが0勝する場合は、最後の1勝を挙げた選手が勝利することになるため、4回目の試合でAが勝利する必要があります。つまり、(3)の確率は、
P(3勝前にBが0勝) = (2/3・1/3・1/3 + 1/3・2/3・1/3)・2/3・2/3 = 16/243
となります。
以上より、AがBよりも先に3回勝つ確率は、
P(Aが3勝前に勝利) = P(3勝前にBが2勝) + P(3勝前にBが1勝) + P(3勝前にBが0勝)
= 8/243 + 16/243 + 16/243
= 40/243
となります。
×⑯鋭角三角形ABCの外心をOとします。外心は、3つの頂点と円周上にある点との中点を結ぶ線分が互いに直交する特徴を持ちます。
すなわち、直線BOは線分LNの中点Mで垂直に交わり、直線COは線分MNの中点Nで垂直に交わります。同様に、直線AOは線分LMの中点Lで垂直に交わります。
したがって、Oは三角形LMNの外心であることがわかります。
×⑰43□8□が9の倍数であるためには、その数字の各桁の和が9の倍数でなければなりません。
つまり、4 + 3 + □ + 8 + □ = 15 + 2□
が9の倍数となる必要があります。
ここで、2□が最大になるように□には9を入れます。この場合、2□ = 18となり、43□89は9の倍数となります。他にも、□には0、1、2、3、4、5、6、7、8のいずれかを入れることができますが、どの場合でも43□89よりも小さい9の倍数しかできません。
よって、最大の自然数は43889となります。
×⑱正の約数が10個ある自然数を探すには、まずその数を素因数分解して考えます。正の約数が10個ある自然数は、以下のような形式になります。
p1^4 * p2^1：2つの異なる素数がある場合。
p1^9：1つの素数がある場合。
ここで、p1とp2は異なる素数を表します。また、p1とp2の大小関係によって、同じ数を重複して数えることがないようにする必要があります。
まず、p1^4 * p2^1の場合を考えます。2つの異なる素数を考えるため、p1は2,3,5,7,11,13,17,19のいずれかであり、p2はp1より大きい素数です。これらの素数を使って、p1^4 * p2^1の形式を持つ数を全て求めます。その際、p1とp2の大小関係によって同じ数を重複して数えないようにするため、p1 < p2を仮定して計算し、最後に2で割ることで重複を除去します。
p1 = 2, p2 = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
p1 = 3, p2 = 5, 7, 11, 13
p1 = 5, p2 = 7
これらの数の総数は、1 + 7 + 4 + 1 = 13となります。
次に、p1^9の場合を考えます。p1は2,3,5,7,11,13,17,19のいずれかであり、この中からp1を選ぶ方法は8通りあります。
これらの数の総数は、13 + 8 = 21となります。
以上より、正の約数が10個である自然数の個数は、21個となります。
×⑲まず、15/22と20/33を素因数分解します。
15/22 = 3/2・5/11 = 3/2・5/11
20/33 = 2/3・5/11・2/5 = 2/3・2/5・5/11
これらの分数に、積が自然数となるような分数を掛けて、分母を最小にするために各素因数の最大公約数をとります。すると、以下のような分数を得ることができます。
3/2・5/11・2/5 = 3/11
2/3・2/5・5/11 = 1/33
従って、積が自然数となる分数のうち、最も小さいものは1/33となります。
×⑳まず、x, y, zの値をそれぞれ1, 1, 1とし、等式を満たすかどうかを確認します。
1 + 2・1 + 3・1 = 6 ≠ 12
等式を満たさないので、x, y, zの値を変更します。x, y, zの値を全て1から始め、zの値を1ずつ増やしながら等式を満たす組を探します。
x=1, y=1, z=3： 1 + 2・1 + 3・3 = 12
x=1, y=2, z=2： 1 + 2・2 + 3・2 = 12
x=1, y=3, z=1： 1 + 2・3 + 3・1 = 12
x=2, y=1, z=2： 2 + 2・1 + 3・2 = 12
x=2, y=2, z=1： 2 + 2・2 + 3・1 = 12
x=3, y=1, z=1： 3 + 2・1 + 3・1 = 12
以上の6つの組が、等式x+2y+3z=12を満たす自然数の組です。
×㉑三角形ABCが正三角形であるためには、AB=BC=CAとなる必要があります。まず、ABの長さを求めます。
ABの長さ = √[(x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2]
= √[(-1 – 3)^2 + (0 – (-2))^2]
= √[16 + 4]
= √20
= 2√5
次に、BCの長さを求めます。
BCの長さ = √[(x3 – x2)^2 + (y3 – y2)^2]
= √[(x3 + 1)^2 + y3^2]
（ここで、x2 = -1, y2 = 0, x3 = ?, y3 = ? と仮定します。）
さらに、三角形ABCが正三角形であるためには、ABとBCの長さが等しい必要があります。すなわち、2√5 = √[(x3 + 1)^2 + y3^2]
両辺の2乗をとり、整理すると、
80 = x3^2 + 2×3 + y3^2 + 1
となります。また、三角形ABCが正三角形であるためには、角BACの内角が60度である必要があります。これを踏まえて、点Cの座標を求めることができます。
まず、ベクトルABを求めます。
AB = (x2 – x1, y2 – y1) = (-1 – 3, 0 – (-2)) = (-4, 2)
次に、ベクトルACを求めます。これは、ベクトルABを60度回転させたベクトルになります。
AC = (cos60°・(-4) – sin60°・2, sin60°・(-4) + cos60°・2)
= (-2 – √3, -2√3 – 2)
最後に、点Cの座標を求めます。点Aの座標にベクトルACを加算することで、点Cの座標を求めることができます。
C = (3, -2) + (-2 – √3, -2√3 – 2)
= (1 – √3, -2√3 – 4)
したがって、点Cの座標は、(1 – √3, -2√3 – 4)となります。
×㉒まず、円x^2 + y^2 = 4を中心が原点の半径2の円として表現し、円(x-5)^2 + y^2 = 1を中心が(5,0)で半径1の円として表現します。これらの円の共通接線は、以下の2種類あります。
円x^2 + y^2 = 4と円(x-5)^2 + y^2 = 1の外側で共通接線が1本の場合
円x^2 + y^2 = 4と円(x-5)^2 + y^2 = 1の内側で共通接線が2本の場合
まず、1の場合を考えます。この場合、共通接線の方程式は、2つの円の外側で、円の中心を通る接線の方程式となります。中心が原点で半径が2の円x^2 + y^2 = 4の中心は(0,0)であり、その接線の傾きは±1となります。同様に、中心が(5,0)で半径が1の円(x-5)^2 + y^2 = 1の中心は(5,0)であり、その接線の傾きは±√24/5となります。これらの傾きから、共通接線の傾きを求めることができます。
共通接線の傾き = ±(√24/5 ± 1)
次に、共通接線の中心を求めます。2つの円の中心を結ぶ直線は、傾きが-1/√3であるため、その法線ベクトルは(1/√3, -1)となります。この法線ベクトルと共通接線の傾きから、共通接線の法線ベクトルを求めることができます。
共通接線の法線ベクトル = (±(√24/5 ± 1)/√(1 + (√24/5 ± 1)^2), ±(√24/5 ± 1)/(√3・√(1 + (√24/5 ± 1)^2)))
最後に、共通接線の方程式を求めます。共通接線の中心は2つの円の中心の中点であり、傾きと中心から方程式を求めることができます。
傾きが±(√24/5 + 1)の場合：
共通接線の中心 = (2.5, 0)
共通接線の方程式：y = ±(√24/5 + 1)x ± 2√6
傾きが±(√24/5 – 1)の場合：
共通接線の中心 = (2.5, 0) 共通接線の方程式：y = ±(√24/5 – 1)x ± 2√6
したがって、円x^2 + y^2 = 4と円(x-5)^2 + y^2 = 1の共通接線の方程式は、y = ±(√24/5 ± 1)x ± 2√6、y = ±(√24/5 – 1)x ± 2√6の4つの式のいずれかになります。
×㉓点Pの座標を(x, y)とし、PA:PB=1:4であるため、Pの座標は線分AB上の点として次のように表せます。P = (4t – 1, 0)
ただし、tは任意定数です。この式より、Pの軌跡は、線分AB上をtが動くときの点(4t – 1, 0)の軌跡となります。
線分ABはx軸上にあり、AとBのx座標はそれぞれ-1と4なので、tが動く範囲は-1/4 <= t <= 1であり、この範囲で点Pの軌跡を求めることができます。
よって、点Pの軌跡は、x軸上の線分[-1, 4]となります。
×㉔OAベクトル・OBベクトル=2 から、|a||b|cosθ = 2 を満たします。ここで、θはOAベクトルとOBベクトルのなす角です。また、OA = 2√2, OB = √3 から、|a| = 2√2, |b| = √3 となります。
△OABの面積Sは、次のように求められます。
S = (1/2)|a||b|sinθ
また、△OABの高さhは、OAベクトルに対するOBベクトルの射影の長さとなります。OBベクトルを分解すると、OBベクトルのOAベクトルに対する射影は、次のように求められます。
|b|cosθ = OBベクトル・(OAベクトル/|OA|) = OAベクトル・OBベクトル/|OA| = 2/√2 = √2
よって、h = |b|cosθ = √2 となります。
△OABの垂心Hは、OAベクトルとOBベクトルに垂直な直線上にあります。したがって、OHベクトルはOAベクトルとOBベクトルに平行なベクトルとなります。また、△OABの高さhは、OHベクトルの長さに等しいため、OHベクトルの大きさは√2となります。
さらに、OHベクトルとOAベクトルのなす角度θ1と、OHベクトルとOBベクトルのなす角度θ2を求めることができます。ここで、θ1とθ2は直交するため、θ1 + θ2 = 90度となります。また、OHベクトルとOAベクトルのなす角度θ1は、OAベクトルとOBベクトルのなす角度θの補角となります。つまり、
θ1 = 90度 – θ
同様に、OHベクトルとOBベクトルのなす角度θ2は、
θ2 = 90度 – θ
したがって、OHベクトルは、aベクトルとbベクトルに平行で、大きさが√2で、OAベクトルとOBベクトルに垂直な方向にあることがわかります。また、OHベクトルとOAベクトルのなす角度は90度 – θであり、OHベクトルとOBベクトルのなす角度も同様に90度 – θとなります。
×㉕OAベクトル, OBベクトル, OCベクトルの端点を順にA, B, Cとします。また、線分DGの中点をNとすると、GM = 2DG から、GN = 3DG = DN となります。ここで、Nを原点とし、NDをx軸正の方向、DNと平面ABCの交点Qを通る直線をz軸正の方向とした直交座標系を考えます。
この座標系において、ベクトルDGは、点Dから点Gに向かって座標が(2, 0, 0)から(3, 0, 0)に変化するベクトルとなります。したがって、DGベクトルは、(1, 0, 0)となります。
次に、点Mの座標を求めます。GN = DN = 3DG から、Nを原点とした場合、点Gの座標は(3/2, 0, 0)となります。また、GM = 2DG から、点Mの座標は、点GからベクトルDGの2倍を足すことで求めることができます。つまり、点Mの座標は、(3/2 + 2, 0, 0) = (7/2, 0, 0)となります。
点Oから点Mに向かうベクトルOMは、(7/2, 0, 0)となります。また、OAベクトル, OBベクトル, OCベクトルの中点を順にE, F, Hとすると、ベクトルOE, OF, OHは、それぞれa/2, b/2, c/2となります。
平面ABCの方程式を求めると、平面の法線ベクトルは、ベクトルOBとベクトルOCの外積で求めることができます。つまり、
n = OBベクトル × OCベクトル
= (bベクトル × cベクトル)
= ((bc)sinθ)n’
ここで、θはOBベクトルとOCベクトルのなす角で、n’は単位ベクトルです。また、|n| = bc sinθ となります。
n’を求めるために、まずOBベクトルとOCベクトルを正規化します。つまり、
u = OBベクトル/|OB| = bベクトル/√(bベクトル・bベクトル)
v = OCベクトル/|OC| = cベクトル/√(cベクトル・cベクトル)
次に、uとvの外積を求めます。
n’ =u × v
= (bベクトル/√(bベクトル・bベクトル)) × (cベクトル/√(cベクトル・cベクトル))
= (bベクトル × cベクトル)/√((bベクトル・bベクトル)(cベクトル・cベクトル))
ここで、bベクトル × cベクトルの大きさは、平行六面体OADB-CEGFの体積に等しいため、|bベクトル × cベクトル| = |OADB-CEGF| = 4√2 となります。また、bベクトル・bベクトル = |OB|2 = 3、cベクトル・cベクトル = |OC|2 = 2となるので、
n’ = (bベクトル × cベクトル)/√(6)
最後に、n’に|n| = bc sinθをかけて、平面ABCの法線ベクトルnを求めます。
n = |n|n’ = bc sinθ × (bベクトル × cベクトル)/√(6)
したがって、平面ABCの方程式は、
n・(P – E) = 0
となります。ここで、Pは点(x, y, z)の座標を表します。この式を展開すると、
(bc/√6)(-x/2 + y/2 + z/2 – 5/2) = 0
したがって、点Pの座標は、
x/2 – y/2 – z/2 + 5/2 = 0
という式で表されます。また、ベクトルOMをa/2, b/2, c/2で表すと、
OM = (7/2, 0, 0) = (a/2, b/2, c/2)
となるので、a = 7, b = 2√2, c = 0となります。
よって、OPベクトルは、ベクトルOM – OPベクトルが平面ABC上にあることから、
OPベクトル = OM – (OM・n)/(n・n)n
= (7/2, 0, 0) – (7√2/6, -5√2/6, 5/6)
= (7/2 – 7√2/6, 5√2/6, -5/6)
したがって、OPベクトルをaベクトル, bベクトル, cベクトルで表すと、
OPベクトル = (7/2 – 7√2/6)aベクトル + (5√2/6)bベクトル – (5/6)cベクトル
となります。
×㉖等差数列の公差を $d$ とし、初項を $a$ とすると、一般項は $a_n = a + (n-1)d$ となります。
与えられた条件から、以下の方程式が立てられます。
\begin{aligned} a+9d &= 24 \ a+29d &= 64 \end{aligned}
これを解くと $a=4$, $d=2$ となります。よって、初項が $4$ で公差が $2$ の等差数列とわかります。
和の公式を使って、初項から第 $n$ 項までの和は次のように表せます。
$$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) = n^2 + 2n $$
ここで $S_n > 200$ を満たす最小の $n$ を求めることを考えます。式を変形すると、$n^2 + 2n – 200 > 0$ となります。これを解くと $(n-10)(n+12)>0$ となり、$n > 10$ または $n < -12$ が得られます。
$n$ は自然数であるため、初項から第 $23$ 項までの和が初めて $200$ を超えることになります。よって、初項から第 $23$ 項までの和が初めて $200$ より大きくなります。
×㉗三角形の底辺はx軸に沿って2nだけ伸びています。したがって、周上の格子点は、x座標が0から2nまで2刻み、y座標が0である点となります。x座標の範囲は(0, 2n]となるので、格子点の個数はn個となります。
次に、三角形内部にある格子点を数えます。三角形の底辺上にある格子点は、先ほどと同様にn個あります。また、底辺から1上がった点の左側には1つ、右側には2つ、同様に2上がった点の左側には2つ、右側には3つ、…という風に、各段で左右の格子点の数が1ずつ増えていきます。そこで、各段の左右の格子点の数の和を求めると、三角形内部にある格子点の総数が求められます。
段数を0からn-1まで数えると、各段の左右の格子点の数は、0+1, 1+2, 2+3, …, (n-2)+(n-1), (n-1)+n となります。これを総和すると、n + 1 + 2 + … + 2n – 1 = n(3n – 1)/2 となります。したがって、三角形内部にある格子点の総数は n + n(3n – 1)/2 = (n^2 + 3n)/2 個となります。
以上より、三角形の周上の格子点の個数はn個、内部の格子点の個数は(n^2 + 3n)/2個と求められます。
×㉘与えられた漸化式 a(n+2)+a(n+1)-6an=0 は 2次の線形漸化式です。
まず、特性方程式を求めます。
λ^2 + λ – 6 = 0
これを解くと、(λ-2)(λ+3) = 0 となり、λ=2,-3 となります。
よって、一般解は
an = c1(2^n) + c2(-3)^n
初期条件 a1=0, a2=1 を使ってc1,c2を求めます。
a1 = c1(2^1) + c2(-3)^1 = 0 から c1+(-3)c2 = 0
a2 = c1(2^2) + c2(-3)^2 = 1 から 4c1+9c2 = 1
これを解くと、c1=3/5, c2=-1/5 となります。
よって、一般項は
an = (3/5)(2^n) – (1/5)(-3)^n です。
×㉙点Qは線分OPを2:1に内分するため、OQ:QP=2:1 です。
極座標系において、点Pの極座標を (r,θ) とすると、点Qの極座標は (2r/3,θ) となります。
また、Cの中心座標は (a,0) であり、極座標系において (a,0) は (a,π/2) です。また、Cの半径は a であるため、極座標系においてのCの極方程式は r = a です。
点Qが定円C上にあるためには、点Qの極座標 (2r/3,θ) が極方程式 r=a を満たす必要があります。よって、
2r/3 = a
となります。これより、r = 3a/2 です。
よって、点Qの極座標は (3a/2,θ) となります。これより、点Qの極方程式は r = 3a/2 です。
×㉚y=sin(x)とy=cos(x)の交点を求めると、
sin(x) = cos(x) ⇔ tan(x) = 1 ⇔ x = π/4, 5π/4
となります。
また、π/4 ≤ x ≤ 5π/4の範囲で、sin(x) ≤ cos(x)であるため、
y = cos(x)がy = sin(x)よりも大きい部分で囲まれた領域が回転体となります。
この図形をx軸まわりに一回転させてできる体積Vは、次のようになります。
V = π∫(π/4)^(5π/4)[cos^2(x) – sin^2(x)] dx
ここで、cos^2(x) – sin^2(x) = cos(2x) であるため、
V = π∫(π/4)^(5π/4)cos(2x) dx
ここで、cos(2x)はπ/4から5π/4まで周期がπ/2の関数であるため、次のように変形できます。
V = π∫(π/4)^(5π/4)cos(2x) dx
= 2π∫(π/4)^(π/2)cos(2x) dx
= 2π[1/2sin(2x)]_(π/4)^(π/2)
= π[sin(π) – sin(π/2)]
= π(1 – 1) = 0
よって、求める回転体の体積は0となります。
BingAIの回答は以下でした。
×①ビニールハウスの体積を求める問題ですね。ビニールハウスの表面積は、4mと6mの長方形に半径3mの半円がくっついている形をしているため、長方形部分の面積は4m×6m=24㎡、半円部分の面積は(3m)×(3m)×3.1÷2=14.13㎡となります。よって、表面積は24㎡+14.13㎡=38.13㎡となります。また、ビニールハウスの高さがわからないため、体積は求められません。
△②正11角形の内角の和は、1620度です¹. 正多角形の内角の和は、180度×(n-2)で求められます³². したがって、正11角形の一つの内角の大きさは、(1620度)/(11) = 147.27度です。また、正11角形の対角線は、44本引けることがわかります¹.
【ア】=1620, 【イ】=147.27, 【ウ】=44
×③a) 普通列車と快速列車が向かい合って走っている時、すれ違うのにかかる時間は、8秒です¹。
b) 普通列車と快速列車が同じ方向で走っている時、快速列車が普通列車に追いついてから追い越すまでにかかる時間は、16秒です¹。
×④9%の食塩水を何g混ぜれば良いかについてですが、以下の手順で計算できます¹。
2%の食塩水300gに含まれる食塩の量は、300g×0.02=6gです。
7%の食塩水を作るために必要な食塩の量は、300g×0.07=21gです。
9%の食塩水を作るために必要な食塩の量は、xとすると、(6+x)/(300+x)=0.07です。この式をxについて解くと、x=75gです。
よって、9%の食塩水を75g混ぜれば良いことになります。
×⑤6種類の色珠を1個ずつつないで輪になるキーホルダーを作る場合、以下のように考えます。
a) 輪になるキーホルダーの作り方は何通りあるか。
6種類の色珠を1個ずつつないで輪になるキーホルダーを作る場合、順列の公式を用いて、6!通りの作り方があります。ただし、輪になるためには、最後につなぐ色珠を決める必要があります。したがって、6!通りから最後につなぐ色珠を決める場合の数である6通りを除いた、5!×6通りが輪になるキーホルダーの作り方です。⁷
b) 特定の2種を隣り合わせにすると作り方は何通りあるか。
2種類の色珠を隣り合わせにする場所を決めると、その2種類の色珠は1つとして扱えます。したがって、5種類の色珠と1種類の2色珠から順列を求めます。2種類の色珠が隣り合わせになる場所は6箇所あります。したがって、5!×2×6=1440通りです。⁷
×⑥数列1,2,3,6,5,10,7,14,9,18,11…は、以下のように並べられます。
1, 2, 3, 6, 5, 10, 7, 14, 9, 18, 11,…
a) 左から99番目には、どの数を並べれば良いかという問いについては、以下のように解くことができます。
1+2+3+6+5+10+7+14+9+18+11 = 86
1から11までの和は、1 + 2 + … + 11 = (1 + 11) × (11 – 1) / 2 = 66
86 – 66 = 20
よって、左から99番目には、20を並べる必要があります。
b) 左から50番目と51番目の数の差を求める問いについては、以下のように解くことができます。
左から50番目は、5であり、左から51番目は、10です。したがって、差は5です。
c) 最初に30が出るまでの数の和を求める問いについては、以下のように解くことができます。
1 + 2 + 3 + 6 + 5 + 10 + … + n th term
n th term = a1 + (n – 1)d
where a1 = 1 and d = the common difference between terms.
n th term = a1 + (n – 1)d = 30
n = (30 – a1) / d + 1
= (30 – 1) / (6 – 3) + 1
= 10
The sum of the first ten terms is:
Sn = n/2(2a1 + (n-1)d)
= (10/2)(2(1)+(10-1)3)
=55
よって、最初に30が出るまでの数の和は55です。
×⑦原価96円の布の粘着テープと原価75円の白いビニールテープを合わせて520個仕入れた。布の粘着テープには25％、白いビニールテープには12％の利益を見込んで定価をつけた。完売だと7680円の利益になる。この場合、白いビニールテープは240個仕入れたことになります。
〇⑧この問題について、以下のように解くことができます。
1人が1日にする仕事の量を「1」とすると、3人が働いた日数を「x」とすると、以下の式が成り立ちます。
$$
3x \times \frac{3}{5} + 4 \times 2 = 1x
$$
これを解くと、$x=6$となります。よって、この仕事は全部で6日かかりました。
×⑨放物線y=-2x^2＋5xを平行移動した曲線で、点（1,-3）を通り、頂点が直線y=-2x＋3上にある放物線の方程式は、y=-2(x-1)^2+1です。
×⑩2次関数y=x^2+2x+m,y=x^2+mx+m+3のグラフが、ともにx軸と共有点をもつとき、定数mの値の範囲は、-3≦m≦1です。
×⑪三角形ABCにおいて、a=√7,b=2,c=3とする。線分BCの中点をMとするとき、AMの長さは、√2です。
×⑫円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3,BC=1,CD=3,DA=4とするとき、四角形ABCDの面積は、10です。
×⑬白玉3個、赤玉5個、青玉4個が入っている袋から、4個の玉を取り出すとき、取り出した玉の色が2色である確率は、7/11です。
×⑭1個のさいころを3回続けて投げるとき、出る目の最大値が4である確率は、1/8です。
×⑮AとBの試合で、A,Bの勝つ確率がそれぞれ1/3,2/3であるとする。この試合を繰り返すとき、AがBよりも先に3回勝つ確率は、1/27です。
×⑯鋭角三角形ABCの辺BC、CA、ABの中点をそれぞれL,M,Nとする。△ABCの外心Oは△LMNについても外心となります。
×⑰5桁の自然数438の8に、それぞれ適当な数を入れると、9の倍数になる。このような自然数で最大のものは、43890です。
×⑱200以下の自然数のうち、正の約数が10個である数の個数は、4です。
×⑲15/22,20/33のいずれに掛けても積が自然数となる分数のうち、最も小さいものは、15/22です。
×⑳自然数の組を求める問題ですね。x+2y+3z=12を満たす自然数の組を求めるには、以下の手順で解くことができます²。
x,y,zが自然数であるため、x≧1, y≧1, z≧1になります。
x+2y+3z=12より、3z=12-x-2yです。
右辺に注目すると12からxとyを引いています。
以上より、z=1,2,3 の場合だけ考えれば十分です。
したがって、x,y,zの組み合わせは以下の通りです。
(1,5,2), (1,4,3), (1,3,4), (1,2,5), (2,4,2), (2,3,3), (2,2,4), (3,3,2), (3,2,3), (4,2,2)
×㉑三角形ABCが正三角形であるとき、点A(3,-2),B(-1,0),Cを頂点とする三角形の点Cの座標を求めるには、以下の手順を行います。
点A,B,Cをプロットします。
点A,B,Cを結びます。
三角形ABCの辺AB,BC,CAの長さを求めます。
三角形ABCの辺AB,BC,CAの長さが等しいことから、辺ABの中点M、辺BCの中点N、辺CAの中点Oを求めます。
点M,N,Oを結びます。
点Oから辺ABに垂線を下ろし、交点をPとします。
点Pから辺ABに垂線を下ろし、交点をQとします。
点Qが点Cです。
したがって、点Cは(1,-3√3)です¹²³.
×㉒円x^2+y^2=4と円(x-5)^2の共通接線の方程式を求めるには、以下の手順を行います。
2つの円の中心を求めます。
2つの円の中心間の距離を求めます。
2つの円が離れている場合、共通接線は存在しません。接する場合、共通接線は2本存在します。
2つの円が接する場合、共通接線は1本存在します。
2つの円が重なる場合、共通接線は無限に存在します。
共通接線の方程式を求めます。
したがって、円x^2+y^2=4と円(x-5)^2の共通接線の方程式はy=-x+2¹³.
×㉓2点A(-1,0),B(4,0)と点Pを頂点とする△PABがPA:PB=1:4を満たしながら変化するとき、点Pの軌跡は線分ABの中点を通る直線です.
×㉔2点A(-1,0),B(4,0)と点Pを頂点とする△PABがPA:PB=1:4を満たしながら変化するとき、点Pの軌跡は線分ABの中点を通る直線です.
×㉕平行六面体OADB-CEGFにおいて、辺DGのGを越える延長上にGM=2DGとなるように点Mをとり、直線OMと平面ABCの交点をPとする。OAベクトル=aベクトル,OBベクトル=bベクトル,OCベクトル=cベクトルとするとき、OPベクトルは以下のように表されます。
OPベクトル = (aベクトル + bベクトル + cベクトル)/4 + (aベクトル・bベクトル + bベクトル・cベクトル + cベクトル・aベクトル)/(4|aベクトル・bベクトル・cベクトル|) (bベクトル – aベクトル)×(cベクトル – aベクトル)/2|bベクトル・(cベクトル – aベクトル)|
×㉖等差数列の第n項は、初項a1と公差dを用いて、an = a1 + (n-1)dで表されます。この等差数列の和Snは、初項a1、公差d、項数nを用いて、Sn = n/2(2a1 + (n-1)d)で表されます。ここで、初項a1=24、公差d=40-24=16として、初めて200より大きくなる第n項を求めます。
200 < n/2(48 + (n-1)16)
200 < n(24 + 8n – 8)
0 < 8n^2 + 16n – 800
0 < n^2 + 2n – 100
0 < (n+10)(n-8)
よって、初項から第9項までの和は200未満であり、初項から第10項までの和が初めて200より大きくなります。従って、答えは10です。
×㉗座標平面上の3点(0,0),(2n,0),(0,n)を頂点とする三角形の周は、底辺が2n、高さがnであるため、2n+n=3nとなります。また、この三角形の内部にある格子点は、底辺上にある格子点が2n-1個、高さ方向にある格子点がn-1個あります。従って、底辺上と高さ方向にある格子点を合わせると、2n-1+n-1=3n-2個の格子点があります。ただし、(0,0)は除きます。よって、答えは3n-2です。
×㉘数列{an}の漸化式a(n+2)+a(n+1)-6an=0を考えます。この漸化式は、a(n+2)=6an-a(n+1)と変形できます。この式を用いて、数列{an}の一般項を求めることができます。
まず、a1=0, a2=1という初期条件が与えられています。この初期条件から、a3=6a1-a2=-1, a4=6a2-a3=6, a5=6a3-a4=-7, a6=6a4-a5=-36, … となります。ここで、数列{an}の一般項をan=c1r1^n+c2r2^nと仮定します。ただし、r1,r2は漸化式a(n+2)=6an-a(n+1)の特性方程式r^2-6r+1=0の解です。この特性方程式は、解の公式を用いてr1=(3+sqrt(17))/2≒4.56155,r2=(3-sqrt(17))/2≒0.43845と求めることができます。
次に、初期条件a1=0,a2=1からc1,c2を求めます。c1,c2は、以下の連立方程式を解くことで求めることができます。
c1+c2=0
c1*r1+c2*r2=1これを解くと、c1=(sqrt(17)-3)/(2sqrt(17)), c2=(sqrt(17)+3)/(2sqrt(17))となります。
よって、数列{an}の一般項は、
an=(sqrt(17)-3)/(2*sqrt(17))*(4.56155)^n+(sqrt(17)+3)/(2*sqrt(17))*(0.43845)^nです。
×㉙中心の極座標が(a,0)で、極Oを通る定円をCとし、Pを極Oを除くC上の動点とする。線分OPを2:1に内分する点Qの軌跡の極方程式は、以下のように求めることができます。
まず、点Pの極座標を(r,θ)とおきます。線分OPを2:1に内分する点Qの極座標を(r’,θ’)とおくと、線分OQは線分OPの2/3倍なので、r’=2r/3です。また、線分OPの中点Mの極座標は(r/2,θ)です。よって、線分OMの長さはr/2であり、三角形OQMの余弦定理より、
cosθ'=(a-r/2)/r'が成り立ちます。ここで、r’をrで表すと、
cosθ'=3a/r-1/2となります。したがって、点Qの極座標は、
(r',θ')=(3a/2-cos^-1(3a/r-1/2),θ)となります。
×㉚問題の範囲で、2つの曲線y=sinx,y=cosxで囲まれた部分を、x軸の周りに一回転させてできる立体の体積Vを求めるには、積分を用いて求めることができます。この問題は、y=sinx,y=cosxの交点を求め、その範囲で積分することで解くことができます。具体的には、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
V &= \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (cosx)^2 – (sinx)^2 dx \
&= \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} cos(2x) dx \
&= \pi \left[ \frac{1}{2}sin(2x) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \
&= 2\pi
\end{aligned}
$$
よって、求める立体の体積Vは2πです。
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